Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem
SÉMINAIRE 

Un séminaire ouvert à tous est organisé chaque jeudi de 11 h à midi. La salle du séminaire est située au troisième étage de l'ancien bâtiment EDF, place Colbert à Mont-Saint-Aignan. (Voir le plan d'accès)

 Chaque exposé dure environ 50 minutes, les dix dernières minutes étant réservées à la discussion.

Ellen SAADA et Thierry DE LA RUE sont chargés de l'organisation du séminaire.

Voir le programme de


Septembre-Octobre 2000


Jeudi 28 septembre 2000

Hervé GUIOL (Université de Campinas)
Convergence vers la mesure invariante maximale pour un système de particules à interaction de portée nulle en milieu aléatoire

Dans ce travail en collaboration avec E. Andjel, P. Ferrari et C. Landim, nous traitons le cas d'un processus unidimensionel totalement asymétrique, appelé communément processus de ``zero range". Dans le cas qui nous intéresse les taux de saut dépendent des sites où ils ont lieu. Nous appellerons milieu aléatoire ou environnement la distribution sur Z de ces taux de saut. En premier lieu nous prouvons que pour tout environnement l'ensemble des mesures invariantes pour ce processus est caracterisé par l'enveloppe convexe de certaines mesures produits à marginales géométriques. Il est connu que ce processus, sous certaines conditions sur l'environnement, admet une densité critique r* non triviale. Une conséquence du résultat précédent est l'inexistence de mesures invariantes à densité surcritique. Nous montrons enfin que si l'on part d'une configuration initiale surcritique alors le processus converge vers la mesure invariante maximale.


Jeudi 5 octobre 2000

Olivier GUIBÉ (Université de Rouen)
Résultats d'unicité de la solution de certains problèmes elliptiques

On considère le problème elliptique quasi-linéaire
-div
A(u)Du
= f
    dans W,
(1)
u
= 0
    sur W,
(2)
o W est un ouvert borné de RN (N 2) de frontière W, A(r) est une matrice uniformément coercive dont les coefficients aij(r) sont des fonctions continues définies R dans R et f une fonction de L1(W).

Comme la donnée f est seulement intégrable, on utilise le cadre des solutions renormalisées qui assure l'existence d'une solution de (1)-(2). Sous des conditions de régularité des coefficients de la matrice A on donnera un résultat d'unicité. En particulier si les coefficients aij sont localement lipschitziens alors la solution renormalisée de (1)-(2) est unique.


Jeudi 19 octobre 2000

Pierre JACOB (Université de Montpellier II)
Estimation fonctionnelle de frontières

Les résultats présentés, obtenus en collaboration avec Stéphane Girard, concernent le problème général de l'estimation d'un ensemble borné du plan, étant donné un sous-ensemble fini, aléatoire, de points observés en son intérieur.

On peut trouver une motivation à ce genre de questions en classification, en imagerie médicale, en écologie, en économétrie...

La richesse du thème provient du croisement entre les diverses modélisations possibles de l'observation (échantillon, processus ponctuel, champ aléatoire sur un réseau...) et les hypothèses faites sur l'ensemble à estimer (ensemble convexe, domaine connexe étoilé, morceaux de frontière, images...), conduisant à une grande variété de réponses (enveloppes convexes, valeurs extrêmes, estimateurs fonctionnels, détection de ruptures, segmentation...).

Dans cet exposé, on suppose simplement que l'observation consiste en la réalisation d'un processus ponctuel de Poisson dans un domaine S = {(x,y) R2 ; 0 x 1, 0 y f(x)}, si bien que l'estimation de S se réduit à celle de f. Ce sujet a une longue histoire, qui remonte à un article de J. Geffroy (1964), et à laquelle G. Gayraud a contribué.

Pour ce qui nous concerne, nous avons étudié les propriétés d'estimateurs tels qu'on en rencontre de façon classique en estimation de la densité, obtenus par la méthode des fonctions orthogonales, ou par la méthode du noyau, avec toutefois la particularité d'être basés non sur des valeurs moyennes locales d'observations, mais sur des valeurs extrêmes locales des mêmes observations.

Nous donnons divers resultats de convergence pour ces estimateurs, et leurs lois limites. Pour la méthode des fonctions orthogonales, nous distinguons le cas de la base de Haar et celui de la base C1, en particulier pour la base trigonométrique. Tous ces estimateurs ont un biais systématique que nous parvenons à réduire par une méthode ad hoc. Une ou deux simulations illustreront l'exposé.


Jeudi 26 octobre 2000

Frédéric JEAN (ENSTA)
Mesure des chemins non horizontaux en géométrie sous-Riemanienne

En géométrie sous-riemannienne, seuls les chemins horizontaux, i.e. tangents à la distribution, peuvent avoir une longueur finie. Dans cet exposé nous nous intéresserons aux chemins non-horizontaux : à partir de l'étude de deux invariants métriques, l'entropie et la complexité, nous verrons comment les mesurer et quelle est leur dimension métrique. Ces résultats sont basés sur une estimation uniforme des boules sous-riemanniennes.


Novembre 2000


Jeudi 9 novembre 2000

Djamal LOUANI (Universités Paris II et Paris VI)
Normalité asymptotique en régression modale, application à la prévision des séries temporelles

Soit (Xn,Yn)n 1 un processus stationnaire à valeurs dans Rd ×R. On définit l'estimateur du mode conditionnel de Y1 sachant X1 = x comme la variable aléatoire Qn(x) qui maximise l'estimateur de la densité conditionnelle de Y1 sachant X1 = x. Nous établissons la normalité asymptotique de Qn(x) quand le processus (Xn,Yn)n 1 est supposé fortement mélangeant (a-mélange). Nous déduisons de ces résultats la normalité asymptotique de l'estimateur d'un predicteur relatif à la prévision de processus markoviens et proposons des bornes de confiance pour ce prédicteur ainsi que pour la fonction mode conditionnel. Une étude par des simulations montre la qualité de cette normalité quand on est en présence d'échantillons de tailles finies.


Jeudi 16 novembre 2000

Patrizia DONATO (Université de Rouen)
Convergence d'opérateurs monotones dans des ouverts perforés

Soit We un domaine perforé par des trous répartis avec la periodicité e et de taille e. Il est bien connu que si ue est solution du problème -e2Due = f avec une condition de Dirichlet sur We, alors, lorsque e 0, la suite (ue) converge faiblement dans L2(W) vers fw, où w est la valeur moyenne sur la cellule de référence de la solution périodique z de -Dz = 1 qui s'annule sur le trou de référence. De plus, on a une estimation d'erreur.

Ici, nous considérons des problèmes de Dirichlet avec opérateurs monotones et homogènes et nous introduisons une large classe de domaines perforés pour lesquels on a le même type de résultats.

Deux hypothèses principales sont faites. La première consiste à supposer que la constante de l'inégalité de Poincaré dans W01,p(We) est d'ordre e. La seconde suppose l'existence d'une famille convenable de fonctions tests qui valent zéro sur les trous (mais non nécessairement sur W). Les résultats obtenus s'appliquent, par exemple, à des domaines doublement périodiquement perforés et à des domaines périodiquement perforés dont les trous approchent des ensembles fractals du type "flocons de neige".

(Travail réalisé en collaboration avec Colette PICARD, Université d'Amiens.)


Jeudi 23 novembre 2000

Mariko ARISAWA (Tohoku University, Japan)
Long time averaged reflection force and homogenization of the oscillating Neumann type BC

We are interested in the asymptotic limit of the solutions ue (e > 0 is a parameter tending to 0) of the problem below. Such a problem was introduced in the engineering to describe the system in which a macroscopic size (ex. 10-1m) and a microscopic size (ex. 10-7m) co-exist.
H(ue, 2 ue) = 0        in    We R2,

< ne(x),ue > +p(x, x1
e
)ue = q(x, x1
e
)        on    We,
(e > 0) where H is a fully nonlinear second-order uniformly elliptic operator, the oscillating domain is
We = {(x1,x2)|    x2 f1(x1)+ef2(x1, x1
e
)},
p, q, f2 are periodic in x = [(x1)/( e)], and ne(x) is the outward unit normal on We. The linear cases were considered by several mathematicians such as A. Friedman and B. Hu. Our view point to study the above problem is based on the ergodicity of the underlying stochastic system to the Hamiltonian H. We present an ergodic theorem concerned with the reflection force of the system on the boundary. The above nonlinear homogenization problem with the oscillating boundary condition is solved by using this ergodic theorem.


Jeudi 30 novembre 2000

Benoît RITTAUD (Université Paris 13)
Sur la distribution modulo 1 de (tnF(nQ))

Les problèmes de convergence ponctuelle de moyennes diagonales pour des transformations du tore sont reliés à la distribution modulo 1 pour presque tout réel t de suites du type (tnF(nQ))n, où F : RdR est Zd-périodique et Q Rd. Nous montrons que ces suites sont équidistribuées (t-presque partout), ce qui nécessite une analyse selon les propriétés diophantiennes de Q.


Décembre 2000


Jeudi 7 décembre 2000

Mariusz LEMANCZYK (Torun, Pologne)
Multiplicateurs en théorie ergodique

Nous allons démontrer que la classe des automorphismes qui sont disjoints de tous les automorphismes faiblement mélangeants n'est pas stable pour les couplages ergodiques, en répondant ainsi à une question de E. Glasner et B. Weiss. Nous allons démontrer un résultat général qui permet d'obtenir des multiplicateurs d'une classe d'automorphismes. Comme application on obtient une amélioration de quelques résultats classiques sur la disjonction, e.g. tout automorphisme rigide est un multiplicateur de la classe des automorphismes avec la propriété du mélange doux.

L'exposé est basé sur un travail commun avec Francois Parreau.


Jeudi 14 décembre 2000

Grzegorz Karch (Wroclaw, Pologne)
Selfsimilar large time asymptotics of solutions to nonlinear wave equations

In this talk, I shall present and discuss my recent results concerning behavior of solutions of the Cauchy problems for some nonlinear equations. One of the main examples is the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation
ut-uxx+uxxx+f(u)x = 0
for the function u = u(x,t) where x R and t > 0. I prove that, under appropriate conditions imposed on f and on initial conditions, the large time asymptotics of solutions to this equation is described by the fundamental solution of the heat equation given by the formula
G(x,t) = (4pt)-1/2exp(-x2/(4t)).
A similar phenomena can be observed in the case of the damped nonlinear wave equation:
utt-Du +ut +|u|p-1u = 0,     x Rn,     t > 0.

Methods used in the proofs of this kind of results base on subtle estimates of functions defined via the Fourier transform.


Janvier 2001


Jeudi 11 janvier 2001

Jérôme DEDECKER (Paris 6)
Conditions nécessaires et suffisantes pour le théorème limite central conditionnel

(Travail commun avec Florence MERLEVÈDE.)

Pour commencer, on rappelle la définition de la convergence stable (au sens de Rényi (1963)) d'une suite de variables aléatoires, ainsi que quelques propriétés qui découlent de ce type de convergence (cf. Aldous et Eagleson (1978)). On présente ensuite une condition suffisante pour que les sommes partielles normalisées issues d'une suite strictement stationnaire convergent de façon stable vers un mélange de lois gaussiennes. Cette condition équivaut en fait à une version forte de la convergence stable des sommes partielles qu'on appelle ``théorème limite central conditionnel" (ce théorème est un cas particulier d'un résultat plus général de convergence vers certaines lois de poisson généralisées). Dans le cas causal, on montre que la plupart des critères connus impliquent le théorème limite central conditionnel (comme, par exemple, les conditions issues du théorème de Gordin (1969)). On donne enfin une version fonctionnelle de ce résultat qui améliore et précise un résultat récent (cf. Dedecker et Rio (2000)).

Références :

  1. D. J. Aldous and G. K. Eagleson (1978), On mixing and stability of limit theorems. Ann. Probab. 6 325-331.
  2. J. Dedecker and E. Rio (2000), On the functional central limit theorem for stationary processes, Annales Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 36 1-34.
  3. M. I. Gordin (1969), The central limit theorem for stationary processes, Soviet Math. Dokl. 10 1174-1176.
  4. A. Rényi (1963), On stable sequences of events, Sankhya Ser. A 25 189-206.


Jeudi 18 janvier 2001

Adam JAKUBOWSKI (Torun, Pologne)
Rough stochastic analysis

We show that the theory of stochastic integral when restricted to integration of left-continuous versions of regular processes has the following properties:

  • admits Riemann-like definition of the stochastic integral;
  • covers significant part of the general case;
  • mostly operates with objects depending on ``finite dimensional distributions";
  • possesses very nice continuity properties, and thus allows efficient modelling with the use of stochastic integrals;
  • provides explicit numerical methods for solving stochastic differential equations, schemes involving the Skorokhod problem and other topics;
  • provides rigorous results for simulation.

We illustrate the above with discussion of the error of the approximation of Lévy processes and the problem of radonification of weak semimartingales.


Jeudi 25 janvier 2001

Yves DERRIENNIC (Université de Bretagne Occidentale
Théorèmes limite conditionnés par la sortie pour une marche aléatoire

Pour une marche aléatoire ou une diffusion ayant une frontière de sortie non triviale on peut chercher à établir les théorèmes limite, loi des grands nombres, théorème limite central..., conditionnellement au point atteint dans la frontière. Dans le cas d'une marche aléatoire élémentaire sur le groupe libre les calculs explicites sont possibles. Alors un TLC qui est vérifié pour la loi a priori, ne l'est pas p.s. pour la loi conditionnée par le point atteint dans la frontière.


Février 2001


Jeudi 1er février 2001

Élie Youndjé (Rouen)
Deconvolution of a Density and the Inversion of a Laplace Transform

This talk is composed of four parts. In the first part the deconvolution kernel estimator is introduced. The second part presents the asymptotic equivalence of quadratic measure of errors for the deconvolution estimates. A data driven bandwidths selector based on cross-validation is introduced in the third part and proved to be asymptotically optimal. In the final part, it is shown that the problem of inverting a Laplace transform can be reduced to that of deconvolving a density. Using this idea, the estimates (for inverting a Laplace transform) are set and shown to be consistent in many stochastic modes including in mean square and almost sure.


Jeudi 8 février 2001

Rym WORMS (Université de Marne-la-Vallée)
Vitesses de convergence pour l'approximation des queues de distributions

On dit qu'une loi de fonction de répartition F est dans le domaine d'attraction d'une loi des extrêmes Hg, où g est un paramètre réel, si :
il existe deux suites normalisantes (an) (dans R) et (sn) (dans R+), telles que
"x R,  
lim
n + 
Fn (sn x +an) = Hg (x),
(1)
Cette condition peut s'exprimer de manière équivalente sous la forme :
il existe une fonction s strictement positive telle que


sup
x [0,s+(F)-u[ 
| _
F
 
u(x) - _
G
 
g ( x
s(u)
) | u s+(F)

 
0,
(2)
où [`F]u est la fonction de survie de la loi des excès au delà d'un seuil u, définie par [`F]u(x) = [(1-F(x+u))/( 1-F(u))], s+(F) = sup{ x; F(x) < 1 } est la borne supérieure du support de F et [`G]g est la fonction de survie d'une loi de Pareto Généralisée.

Beaucoup d'auteurs se sont intéressés à l'étude de la vitesse de convergence, au sens de la convergence uniforme pour la loi des extrêmes, c'est à dire en utilisant (1) . Cependant, aucune étude, n'existait concernant la vitesse de convergence de la loi des excès, c'est à dire en utilisant (2) .

Nous étudions, de façon plus générale, la vitesse de convergence vers 0, au sens de la convergence uniforme, de l'écart [`F]u(x) - [`G]g ( [(x+u-a(u))/( s(u))] ), pour des fonctions normalisante a et s appropriées. Nous montrons que la vitesse obtenue est optimale, c'est-à-dire que l'on ne peut pas l'améliorer avec un autre choix de fonctions normalisantes

Nous étudions également la vitesse de convergence de l'erreur relative d'approximation d'un quantile extrême qa (défini par F(qa) = 1-a et a petit), quand a tend vers 0, lorsqu'on utilise l'approximation de la loi des excès par la loi de Pareto Généralisée limite.


Jeudi 15 février 2001

Antonio GALVES (Université de Sao Paulo)
Problèmes statistiques en linguistique

La parole humaine est supportée par un signal acoustique d'une grande complexité. En effet, ce signal n'est pas stationnaire et peut, en outre, changer en fonction de la vitesse ou de l'intensité de l'énonciation et de la tessiture de la voix du locuteur.

En conséquence les motifs rythmiques d'une langue naturelle se sont jusqu'à présent dérobés à toute analyse statistique et la notion même de rythme de la langue était mal définie.

Dans cette présentation, je parlerai des recherches récentes sur le sujet qui permettent, pour la première fois à ma connaisance, de donner une base experimentale à la notion de classe rythmique. Il sera question aussi des problèmes que le traitement de ces données expérimentales posent à la théorie statistique.


Mars 2001


Jeudi 1er mars 2001

Liliana GRATIE (University of Galatzi, Romania)
Asymptotic analysis for generalized Von Karman plates

These results represent a joint work with Professor P.G. Ciarlet (see [2], [3]). In a previous work (see [1]), P.G. Ciarlet has identified three-dimensional boundary conditions of von Karman's type that lead, through a formal asymptotic analysis of the three-dimensional solution, to the classical von Karman equations, when they are applied to the entire lateral face of a nonlinearly elastic plate. Now, we consider the more general situation where only a portion of the lateral face is subjected to boundary conditions of von Karman's type, while the remaining portion is subjected to boundary conditions of free edge. We then show that the asymptotic analysis of the three-dimensional solution still leads in this case to a two-dimensional boundary value problem that is analogous to the von Karman equations. In particular, the boundary conditions for the Airy function can still be determined solely from the data. The same method of formal asymptotic expansions can be also applied (see[4]) for getting the generalized Marguerre-von Karman equations for a nonlinearly elastic shallow shell.



References

[1] Ciarlet P.G., A justification of the von Karman equations, Arch. Rational Mech Anal. 73 (1980), 349-389.

[2] Ciarlet P.G.; Gratie L.,Équations de von Karman generalisées, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Ser. I, 329-335, 2000.

[3] Ciarlet P.G.; Gratie L., Generalized von Karman equations, J. Math. Pures Appl., 2001 (to appear).

[4] Gratie L., Generalized Marguerre-von Karman equations for a nonlinearly elastic shallow shell, (to appear).


Jeudi 8 mars 2001

Arnaud Le Ny (Université de Rouen)
Problèmes thermodynamiques pour des mesures non-gibbsiennes

La détection de phénomènes non-gibbsiens, lors de transformations spatiales de mesures de Gibbs notamment, a permis l'introduction de nouvelles notions visant à restaurer le formalisme gibbsien, telles que la gibbsiannité faible ou la presque quasilocalité. La restauration ne pourrait être satisfaisante sans un rétablissement des propriétés dites ``thermodynamiques'' pour ces mesures, i.e. sans l'existence d'une entropie, d'une pression ou d'un principe variationnel. Nous rappellerons les propriétés thermodynamiques des mesures de Gibbs et présenterons quelques résultats récents pour certaines restaurations.

Références

[1]
J.Bricmont, A.Kupiainen, R.Lefevere. Renormalization Group Pathologies and the Definition of Gibbs States, Commun. Math. Phys 194:359-388, 1998.

[2]
A.C.D.van Enter, R.Fernández, and A.D.Sokal. Regularity properties and pathologies of position-space renormalization-group transformations: Scope and limitations of Gibbsian theory. J. Stat. Phys. 72:879-1167, 1993.

[3]
C.Maes, F.Redig and A.Van Moffaert. Almost Gibbsian versus Weakly Gibbsian. Stoch.Proc.Appl. 79, no 1:1-15, 1999.


Jeudi 15 mars 2001

Diana BALTEAN (Université de Vest din Timisoara, Roumanie)
Application de la méthode d'homogénéisation aux problèmes de transport dans les milieux multiporeux

Les milieux poreux sont des milieux hétérogènes diphasiques ou polyphasiques, qui possèdent une microstructure qui rend difficile l'étude des phénomènes de transport. Parmi les exemples classiques de tels milieux, on peut citer les massifs de roches volcaniques fissurés, les massifs argileux, les champs pétrolifères, certains filtres de traitement de l'eau, etc... Les problèmes de transport de masse dans ces milieux font l'objet d'une abondante littérature compte-tenu de l'importance des applications pratiques : la mécanique des sols, l'industrie pétrolière, l'industrie chimique, les problèmes industriels de la purification de l'eau, etc... Pour pouvoir étudier des phénomènes dans de tels milieux on remplace généralement le milieu hétérogène par un milieu homogène de sorte que le comportement global du milieu hétérogène soit équivalent au comportement du milieu homogène à l'échelle macroscopique.

Le but des travaux présentés lors du séminaire est de construire des modèles macroscopiques pour le transport d'un contaminant passif par convection et diffusion, dans les milieux poreux, contenant ou non des inclusions rigides imperméables ou des cavités remplies de fluide. La méthode employée est celle d'homogénéisation des milieux périodiques, mise en forme par Sanchez-Palencia (1980), qui utilise des idées de la méthode asymptotique des échelles multiples, jointes à des techniques d'équations aux dérivées partielles pour l'étude des phénomènes locaux. On étudie les problèmes de convection-diffusion dans les milieu poreux périodiques dans divers cas physiquement pertinents (différents régimes d'écoulement et différentes structures du milieu poreux). On obtient l'équation macroscopique vérifiée par la concentration du traceur ainsi que les coefficients macroscopiques de diffusion qui dépendent de la microstructure du milieu.

À titre d'application, on évalue les coefficients macroscopiques pour plusieurs géométries de la microstructure, en résolvant numériquement les problèmes locaux associés (avec la méthode des éléments finis) en 2D et 3D.


Jeudi 22 mars 2001

Michel GRANDCOLAS (Université de Metz)
Problèmes sur les diamètres des convexes et entiers algébriques


Jeudi 29 mars 2001

Sylvia ANICIC (Université Joseph Fourier, Grenoble)
Modèle bidimensionnel de coque avec plis rectilignes

On considère la formulation bidimensionnelle exacte du modèle de coque 3D de Kirchhoff-Love [1]. Ce modèle est basé sur les hypothèses de Kirchhoff-Love et sur max(||1/R1||,||1/R2||) < 2/h, où 1/R1 et 1/R2 sont les courbures principales de la surface moyenne. L'objet de l'exposé est de décrire le comportement asymptotique de ce modèle lorsque le rayon de courbure R tend vers h/2 sur une portion cylindrique de la surface moyenne. Le problème limite que l'on obtient est un modèle bidimensionnel de coque pliée.

Références

[1]
Anicic, S.; Léger, A., 1999 : Formulation bidimensionnelle exacte du modèle de coque 3D de Kirchhoff-Love, C.R. Acad. Sci. Paris, 329, Série I, pp. 741-746.


Avril 2001


Jeudi 5 avril 2001

Karine TRIBOULEY (Paris Sud)
Statistique non paramétrique: intervalle de confiance pour f(x0)

On s'intéresse au problème de donner un intervalle de confiance adaptatif (c'est-à-dire ne dépendant que des données) pour la quantité inconnue q = f(x0) où x0 est un point donné et où f est le paramètre fonctionnel inconnu dérivant d'un modèle de régression ou de densité. Des statistiques pivotales sont construites à partir d'estimateurs adaptatifs de f: la méthode de seuillage (ref: Donoho et al.) et la méthode de lissage aléatoire (ref: Lepskii) sont considérées.

Le critère d'optimalité choisi est défini à partir de l'erreur de couverture. Sous des hypothèses plus contraignantes que dans le cadre de l'estimation, il est démontré qu'il est possible de construire des intervalles adaptatifs et "presque" optimaux (à un log facteur près) à tous les ordres pour le problème de la régression et aux 2 premiers ordres pour la densité. Il est montré de plus, que la méthode par lissage aléatoire est meilleure que la méthode de seuillage vis à vis du biais introduit. Rappelons que ces deux estimateurs sont comparables sous l'angle de la théorie minimax.


Jeudi 12 avril 2001

Christophe POUET (Université de Provence)
Tests asymptotiquement minimax pour une hypothèse nulle composite dans les modèles de densité et de bruit blanc gaussien

On considère les modèles classiques de bruit blanc Gaussien (la fonction de régression f est le paramètre inconnu, le paramètre asymptotique est le niveau de bruit e) et de densité (la densité f est le paramètre inconnu, le paramètre asymptotique est la taille de l'échantillon n). On adopte le point de vue minimax pour étudier le problème de test d'une hypothèse nulle composite (i.e. f SQ avec SQ ensemble de fonctions indexé par Q Rk) contre une alternative non-paramétrique. En imposant des conditions de régularité sur la fonction inconnue f, on parvient à calculer la vitesse minimax de test et à définir une procédure de test asymptotiquement optimale (ces concepts seront définis au cours de l'exposé). La vitesse est identique à celle trouvée dans le cas d'une hypothèse nulle simple par Y.I. Ingster (Minimax hypothesis testing for nonparametric alternatives, I, II, III, Mathematical Methods of Stat. 2 (1993) pp. 85-114, 171-189, 249-268).


Mai 2001


Jeudi 10 mai 2001

Serguei DOVBYCH (Moscou)
Homoclinic orbits and non-integrability

From the H. Poincaré's time it is known that the existence of homoclinic orbits leads in general to the existence of very complicated dynamics.

In this lecture I will explain two classical results in this area : the V.M. Alekseev theorem (1969) and the R. Cushman-V.V. Kozlov theorem (around 1980).

L'exposé d'Olivier PANTZ, prévu initialement ce jour, est reporté à une date ultérieure.


Jeudi 17 mai 2001

Wendelin WERNER (Paris Sud)
Courbes planes aléatoires

Comprendre le comportement de certaines très longues courbes aléatoires dans le plan est une question d'apparence simple qui s'avère soulever des problèmes profonds et souvent non-résolus par les mathématiciens.

Par exemple, parmi les conjectures des physiciens theoriciens sur ces problèmes (Cardy, Duplantier, Nienhuis...), la prédiction que le nombre de chemins auto-evitants de longueur N sur le graphe ZxZ croî t asymptotiquement comme N11/32 CN pour une constante C est encore non prouvée à ce jour.

Le but de cet exposé est de donner une introduction générale à ce sujet, et de présenter quelques progrès récents: plusieurs conjectures sur divers modèles (marches a boucles effacées, percolation critique, marches aléatoires) ont été démontrées par R. Kenyon, par S. Smirnov, par G. Lawler, O. Schramm et W. Werner.


Jeudi 31 mai 2001

Andrey PIATNITSKY (Lebedeev Physical Institute, Moscou)
Homogenization of Fourier boundary value problem in perforated domain

Given a perforated domain with periodic or locally periodic microstructure, we consider homogenization problem for the Poisson equation with Fourier boundary condition at the border of holes. We suppose that the volume fraction of the holes is uniformly positive, the coefficient of the boundary condition is of order one and the average of this coefficient over the surface of each hole vanishes, i.e. the boundary condition stated on holes is asymptotically neutral. We construct the homogenized problem and study the convergence.


Juin 2001


Jeudi 7 juin 2001

Daniel UELTSCHI (Université de Princeton)
La théorie de Pirogov-Sinaï des transitions de phases du 1er ordre

La théorie de Pirogov-Sinaï permet de décrire les diagrammes de phases et les états d'équilibre de nombreux modèles de physique statistque, tant classiques que quantiques. Cette revue décrira le formalisme général, les questions essentielles, et les réponses données par la théorie de Pirogov-Sinaï. Deux exemples seront discutés en détail à titre d'illustration : le modèle d'Ising, qui a exactement deux états de Gibbs ``purs'' à basse température, et un système de bosons sur réseau (modèle de Bose-Hubbard).


Jeudi 14 juin 2001

Serge PERGAMENCHTCHIKOV (Université de Rouen)
Estimation séquentielle non paramétrique du coefficient de dérive d'un processus de diffusion

On considére le problème d'estimation d'une fonction inconnue S(·) au point fixé x0 lorsqu'on observe le processus


d yt=S(yt) d t + d wt,
où la fonction S(·) est lipschitzienne et appartient à SL,g


SL,g={S:  |S(0)| L,   -L S(x)-S(y)
x-y
-g,   " x ,  y R }.

Pour résoudre ce problème on propose l'estimateur à noyau séquentiel


S*c(x0)= 1
c

tc

0 
Q

yt-x0
h


d yt,


tc= inf
{t 0:  
t

0 
Q

yt-x0
h


d t c},
où c est un paramètre positif, h est la largeur de la fenêtre, Q(z)=c{|z| 1}, cA est l'indicatrice de l'ensemble A.

On démontre que l'estimateur séquentiel est meilleur au sens non asymptotique que l'estimateur non séquentiel.

Les propriétés asymptotiques (c) du temps d'arrêt tc et de l'estimateur S*c sont étudiées. On a trouvé les frontières inférieures pour les risques asymptotiques pour les procédures séquentielles. On montre que la procédure (S*c(x0), tc,  c > 0) est asymptotiquement optimale au sens minimax.


Jeudi 21 juin 2001

Yoshinori MORIMOTO (Kyoto University)
The expansion formula of the product of Wick operators and its application on the Cauchy problem for some dispersive equations

In this talk, we first introduce the Wick calculus used by Lerner [1] and investigate the algebra for the Wick calculus more precisely than there. Especially we give the following expansion formula of the product of Wick operators similar to that of Weyl pseudo-differential operators;


aWick bWick = (ab)Wick - 1
2


a·b- 1
i
{a,b}

Wick

 
+                


+ (-1)k
2k  k!




2n

j=1 
Xj Zj + HXj
i
Zj

k

 
a(X)b(Z)



Z=X 


Wick

 
+  ,
where, for a(x,x)=a(X) ,( X Rnx×Rnx), we define aWick=aWick(x,D) on L2(Rn) by


aWick(x,D)u(x) = (W* am Wu)(x)       for     u L2(Rn) .
Here (Wu)(Y) = (Wu)(y,h) is a windowed Fourier transform of u L2(Rn) defined by


(Wu)(Y)=


Rn 

gY(x)
 
u(x)dx  ,gY(x) = eixhg(x-y), with a Gauss function g  ,
am is the multiplication operator by a(Y) on L2(R2n) and W* is the adjoint operator of W.

As an application of the expansion formula, we consider the Cauchy problem for some dispersive equations, which is motivated by the works of Mizohata[2,3] and Doi[4] on the L2 well-posedness of the same problem for Schrödinger type equations. The content of this talk is based on the joint work with H. Ando.

References

[1]
N. Lerner, The Wick calculus of pseudo-differential operators and energy estimates, "New trends in microlocal analysis" ( J.M. Bony and M. Morimoto, eds.), Springer-Verlag, Berlin, Heiderberg, New York, Tokyo (1996), 23-37.

[2]
S. Mizohata, On some Schrödinger type equations, Proc. Japan Acad. 57 Ser A (1981), 81-84.

[3]
S. Mizohata, On the Cauchy problem, Academic Press (1985).

[4]
S. Doi, On the Cauchy problem for Schrödinger type equations and the regularity of the solutions, J. Math. Kyoto Univ. 34 (1994), 319-328.


TEX by TTH, version 2.89.


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