Sixièmes Rencontres Mathématiques de Rouen
en l'honneur de Claude DELLACHERIE


Théorie descriptive des ensembles,
théorie du potentiel, probabilités
et autres joyeusetés



ROUEN 18, 19 et 20 juin 2003


Cyril BANDERIER (CNRS, Université de Paris-Nord, France)

La combinatoire analytique ou "Comment j'ai aimé les probas" ...

L'informatique, et plus particulièrement l'algorithmique, est une source inépuisable de problèmes ayant une délicieuse saveur de mathématiques discrètes. Knuth, dans the Art of Computer Programming, a su montrer que la clef pour avoir un programme efficace était souvent d'analyser finement sa complexité (en moyenne ou dans le pire des cas), i.e. les structures combinatoires "cachées" dans le programme. Il est plaisant que pour étudier ces objets discrets, un passage au monde continu s'avère fort rentable. En effet, diverses méthodes analytiques (proches de la théorie analytique ou probabilistique des nombres) sont un outil indispensable pour de telles analyses.
Depuis, l'étude des structures combinatoires et de leurs lois limites a connu un formidable essor (la génétique et la physique statistique étant également des domaines d'application importants).
Je me concentrerai dans cet exposé sur l'application de la combinatoire analytique (développée par Philippe Flajolet & Cie) à des structures combinatoires de base comme : les marches aléatoires discrètes, les mots, les arbres et les graphes en expliquant comment on peut, presque gratuitement, compter ces objets (obtenir les séries génératrices) et en faire l'asymptotique.

Nicolas BOULEAU (ENPC, France)

Quelques applications à la physique et à la finance du calcul d'erreur par formes de Dirichlet

Après avoir discuté diverses façons de représenter et d'étudier les erreurs sur des grandeurs et leur transmission à travers des modèles mathématiques, j'exposerai certains avantages à cet égard du langage des formes de Dirichlet. Familiarisés à ces techniques par quelques exemples simples, nous pourrons ensuite aborder le calcul d'erreur pour des modèles stochastiques utilisés en finance et pour certains problèmes de vibrations non linéaire en physique où les erreurs interviennent par leurs variances et par leur biais.

Dario CORDERO-ERAUSQUIN (Université de Marne-la-Vallée, France)

Quelques comparaisons entre les méthodes de semi-groupe et les méthodes de transport de mesure.

Les méthodes de semi-groupe, développées en particulier par Bakry et Émery, fournissent une approche élégante aux inégalités de Sobolev logarithmiques. Récemment, une autre méthode, plus géométrique, reposant sur une paramétrisation des probabilités, est apparue. Nous présenterons des applications de cette méthode et nous ferons quelques remarques sur les avantages et inconvénients de chaque méthode.

Gabriel DEBS (Université du Havre, France)

Sur des propriétés de régularité des boréliens, non décidables dans ZFC

Je présenterai quelques résultats extraits d'une étude récente faite avec J. Saint Raymond. Partie d'un problème topologique élémentaire (dans R) cette étude nous a mené à des propriétés de "régularité intérieure" ou "capacitibilté" pour les ensembles de réels (du type: Si tous les compacts d'un ensemble A sont "petits" alors A est "petit") dont la validité pour les boréliens dépend de l'Univers de Théorie des Ensembles dans lequel on se place.

Gérard DUCHAMP (Université de Rouen, France)

Trois (joyeuses) contributions de l'Informatique aux Mathématiques et à la Physique

L'Informatique Théorique a dû inventer des modèles pour comprendre le comportement des machines (mots, automates ...). Ce faisant, elle a été contrainte de développer des structures nouvelles qui permettent de résoudre certains problèmes issus des autres sciences.

Michel ÉMERY (Université Louis Pasteur, Strasbourg, France)

Comment reconnaître qu'une filtration est brownienne ?

Cette question me paraît de circonstance, parce qu'elle est gratuite (savoir une filtration engendrée par un brownien n'est guère utile sans informations sur ce dernier), et qu'elle mène à un résultat dont l'énoncé, mais non la démonstration, est élémentaire. Ces trois qualités devraient plaire à Claude, parce que la gratuité fait toujours plaisir, et qu'il excelle à bâtir des solutions magnifiques à des problèmes profonds bien qu'apparemment fort simples. Prenez une filtration triviale à l'instant 0+, et dont les accroissements sur tout intervalle ne contenant pas 0 sont engendrés par un mouvement brownien. En dépit des apparences, elle n'est pas nécessairement engendrée par un mouvement brownien ; un certain critère doit en outre être satisfait. Il admet un corollaire d'aspect anodin : elle est brownienne dès qu'elle est immersible dans une filtration brownienne de dimension infinie.

Sonia FOURATI et Érik LENGLART (INSA de Rouen, France)

Vive la théorie générale des processus !

Nous débuterons par un historique de la théorie générale des processus, à laquelle Claude Dellacherie a pris une si grande part, et le passage progressif des aspects "filtration" aux aspects "tribus sur R×Ω" qui s'achève avec les tribus de Meyer et les tribus homogènes. Nous montrerons sur quelques exemples les vertus simplificatrices et de compréhension en profondeur de cette théorie.

Georges HANSEL (Université de Rouen, France)

Vers un théorème de Cobham pour les entiers de Gauss.

Un théorème de Cobham énonce que si p et q sont deux entiers indépendants, un sous-ensemble S de N dont les représentations en base p et q sont reconnaissables par automate fini est ultimement périodique. La généralisation de ce résultat à un sous-ensemble S d'entiers de Gauss avec deux bases complexes -p+i et -q+i est un problème [largement] ouvert. On montrera le résultat partiel suivant: si la [célèbre] conjecture "des quatre exponentielles" est vraie, alors S est syndétique (c'est-à-dire que si le nombre r est assez grand, S intersecte toute boule de rayon r assez grand). Pour ce faire, on se ramène à montrer l'ergodicité d'une certaine transformation du tore.

Gilles HARGÉ (Université d'Évry, France)

Décorrélation d'une fonction convexe et d'une fonction log-concave par rapport à une mesure gaussienne, application aux espaces de Wiener abstraits.

En 1976, Brascamp et Lieb montrent que parmi toutes les mesures de probabilité possédant une densité log-concave par rapport à une mesure gaussienne donnée dans Rn, la mesure réalisant les moments les plus forts est cette mesure gaussienne. On montre que ce théorème reste vrai lorsqu'on remplace xp, dans le calcul des moments, par une fonction convexe quelconque. On obtient ainsi une inégalité de décorrélation entre une fonction log-concave et une fonction convexe par rapport à une mesure gaussienne. On en déduit des résultats concernant l'analyse stochastique dans les espaces de Wiener abstraits.

Francis HIRSCH (Université d'Évry, France)

Distances mesurables, distances intrinsèques et fonctions lipschitziennes.

Je présenterai les notions (introduites par N. Weaver) de pseudo-distance mesurable et de fonctions lipschitziennes associées. Je montrerai qu'elles sont reliées, dans le cas des formes de Dirichlet, à la notion classique de distance intrinsèque. Dans le cas plus particulier de l'espace de Wiener, ces notions peuvent être explicitées et exprimées en terme de la "distance" de Cameron-Martin. Je montrerai aussi que ces pseudo-distances interviennent dans les estimations gaussiennes "intégrées" pour les semi-groupes de diffusion symétriques généraux. Ceci conduit à des résultats de type grandes déviations.

Adam JAKUBOWSKI (Université de Torun, Pologne)

Variations on the Dellacherie-Mokobodzki-Bichteler theorem

The seminal Dellacherie-Mokobodzki-Bichteler theorem asserts that semimartingales are the only "good integrators". We shall present some ideas related to this theorem:
  • infinite dimensional D-M-B theorem and radonification of cylindrical semimartingales;
  • compactness of families of semimartingales and limit theorems for stochastic integrals;
  • an a.s. approximation for processes tangent to semimartingales.

Mikhail KAMENSKI (Université de Voronezh, Russie)

La méthode de moyennisation et l'indice topologique.

Pendant ces dernières années, la méthode d'étude des problèmes de moyennisation à l'aide de la théorie de l'indice topologique a montré son efficacité. Par cette méthode, le principe de la moyenne a été établi pour de nouvelles équations et inclusions différentielles. Dans l'exposé, les nouvelles applications de cette approche sont présentées pour des équations ayant des formes non standard
\begin{displaymath}
\dot x=\psi(t,x)+\varepsilon\phi_0(t,x),
\end{displaymath} (1)

et
\begin{displaymath}
\dot
x=\psi(t,x)+\varepsilon^2\phi_1(t,x)+\varepsilon^3\phi_2(t,x,\varepsilon),
\end{displaymath} (2)

où les fonctions $\psi,\phi_0, \phi_1:{\rm R}\times{\rm R}^n\to
{\rm R}^n,\ \phi_2:{\rm R}\times{\rm R}^n\times[0,1]\to {\rm R}^n$ sont continues et $T$-périodiques par rapport à la prémière variable, et $\varepsilon$ est un petit paramètre positif. Les théorèmes d'existence de solutions périodiques sont énoncés en termes de non égalité à zéro de l'indice topologique des applications engendrées par les problèmes de Cauchy
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dot y=\frac{\partial \psi}{\partial x}(t...
...(t,\Omega(t,0,\xi),0), \quad {\rm if}\ i=0,1,2, \\
y(s)=0,
\end{array} \right.$     (3)

$\xi $ appartient à la frontière d'un ouvert $U\subset
{\rm R}^n $ et $\Omega(\cdot,0,\xi)$ est la solution du problème
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
\dot x=\psi(t,x), \\
x(0)=\xi.
\end{array} \right.$     (4)

Comme application, on considère l'équation de van der Pole perturbée.

José LAZARO et Paul-André MEYER

Souvenirs, souvenirs

À partir des notes écrites par Paul-André MEYER quelques jours avant sa disparition, nous évoquerons le temps où Dellacherie faisait sa thèse à Strasbourg et parlerons de ses premiers travaux.

Alain LOUVEAU (Université de Paris VI, France)

Relations d'équivalence boréliennes.

Dans cet exposé, j'essaierai de donner un aperçu des résultats de théorie descriptive obtenus dans les quinze dernières années et qui concernent les relations d'équivalence boréliennes sur les espaces polonais.

Gabriel MOKOBODZKI (Université de Paris VI, France)

Sections fortement affines d'applications multivoques.

Résumé non-parvenu.

Jaime SAN MARTÍN (Université de Santiago, Chili)

Ultrametric matrices.

We will give an overview on the theory of ultrametric matrices starting with its relation with filtered operators and ultrametric distances. Then we will discuss the potential theory implications of this concept and its applications on the study of the Martin boundary for infinite trees.

Jean-Pierre TROALLIC (Université du Havre, France)

Un survol sélectif des groupes topologiques équilibrés

Un groupe topologique est dit équilibré lorsque ses structures uniformes gauche et droite coïncident. Divers résultats anciens ou récents liés à ce concept sont présentés. Plusieurs problèmes ouverts sont par ailleurs signalés.

Ali Süleyman ÜSTÜNEL (ENST, France)

Le problème de Monge-Kantorovitch et l'équation de Monge-Ampère sur l'espace de Wiener.

Nous parlerons des résultats récents sur le problème de Monge-Kantorovitch avec un coût continu par rapport à la distance de Cameron-Martin. Nous indiquerons ensuite comment le calcul d'Itô permet de résoudre l'équation de Monge-Ampère en dimension infinie.