Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Thierry de la Rue. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 11h à 12h dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2016-2017

19 octobre 2015 Aurelia Bartnicka (Université Nicolas Copernic, Toruń, Pologne) $\mathfrak{B}$-free integers in number fields and dynamics In 2010, Sarnak proposed the study of the dynamics of the system determined by the square of the Möbius function (the characteristic function of the square-free integers). We deal with his program in the more general context of $\mathfrak{B}$-free integers in number fields, suggested by Baake and Huck. This setting encompasses the classical square-free case and its generalizations which were considered by other authors. Given a number field $K$, let $\mathfrak{B}$ be a family of pairwise coprime ideals in its ring of integers $\mathcal{O}_K$, such that $\sum_{\mathfrak{b}\in\mathfrak{B}}1/|\mathcal{O}_K / \mathfrak{b}|\leq\infty$. We study the dynamical system determined by the set $\mathcal{F}_\mathfrak{B}=\mathcal{O}_K\setminus \bigcup_{\mathfrak{b}\in\mathfrak{B}}\mathfrak{b}$ of $\mathfrak{B}$-free integers in $\mathcal{O}_K$. We formulate and show that this dynamical system satisfies Sarnak's program. This talk is based on a joint paper with J. Kułaga-Przymus.

2 novembre 2015 Romain Aimino (Université Tor Vergata, Rome) Théorèmes de la limite centrale annealed et quenched pour les systèmes dynamiques aléatoires Pour les systèmes dynamiques aléatoires, on peut distinguer deux types de théorèmes limites : d'un côté, les résultats de type annealed, où l'on considère la distribution limite des sommes de Birkhoff vues comme des fonctions à la fois de la variable de l'espace de phase et du choix des transformations composées ; et de l'autre les résultats de type quenched, concernant les sommes de Birkhoff pour un choix fixé, mais générique, de transformations. Dans cet exposée, je décrirai certains résultats sur le théorème de la limite centrale pour les systèmes dynamiques aléatoires constitués d'applications uniformément dilatantes. Je montrerai que le théorème de la limite centrale annealed est vérifié pour de tels systèmes, et donnerai une condition nécessaire et suffisante pour que sa version quenched sans recentrage aléatoire soit valide. ll s'agit d'un travail en commun avec Matthew Nicol et Sandro Vaienti.

16 novembre 2015 Dalibor Volný (LMRS, Rouen) TLC pour les orthomartingales On a longtemps cru que les approximations par les martingales ne sont utiles que dans le cas de la dimension 1, c'est à dire pour les suites de variables aléatoires. Récemment, un grand progrès a été réalisé dans l'étude des approximations par des martingales et des théorèmes limites, dans le cas d'une «filtration commutant». La méthode s'applique bien dans le cas des actions de $\mathbb{Z}^d$ de Bernoulli ; on va montrer une condition suffisante pour un TLC dans le cas non Bernoulli.

3 décembre 2015, 10h20—11h20 Herold Dehling (Ruhr-Universität Bochum, Allemagne) Robust tests for structural breaks in long-range dependent time series In our talk, we will present some recent results on robust change-point tests for long-range dependent (LRD) time series. The test statistics are motivated by tests for the two-sample problem, such as the Wilcoxon rank sum test. More generally, we will study test statistics of the form $$ T_n = \max_{1\le k\le n−1} \left\| \sum_{i=1}^k\sum_{j=k+1}^n h(X_i,X_j)\right\| ,$$ where $h(x,y)$ is some given kernel function. We will derive the asymptotic distribution of $T_n$, both under the null hypothesis as well as under local alternatives. We compare the power of some standard tests, such as the CUSUM and the Wilcoxon change-point test, both asymptotically as well as for finite samples. For Gaussian data, the asymptotic relative efficiency of the CUSUM and the Wilcoxon test is 1, while for heavy tailed data, the Wilcoxon test is superior to the CUSUM test.

Deux séances exceptionnelles du groupe de travail le jeudi 3 décembre 2015, communes avec le groupe de travail de statistique.

3 décembre 2015, 13h30—14h30 Alfredas Rackauskas (Vilnius University, Lituanie) Central limit theorem for summability transforms of linear processes In the talk we shall discuss some asymptotic results for summation transforms of iid random variables and present some new results including a central limit theorem for summation methods of short memory linear processes as well as a central limit theorem for summation methods of long memory linear processes. Some extensions to functional random elements shall be presented too.

7 décembre 2015 Frédéric Meunier (CERMICS, École Nationale des Ponts et Chaussées) Le problème du partage du collier On se donne un collier ouvert formé de $n$ perles. Chaque perle est d’un certain type parmi $t$ types possibles. On suppose qu’il y a un nombre pair de perles de chaque type. Goldberg et West ont prouvé en 1984 qu’il était possible de couper le collier en $t$ endroits et de partitionner les $t+1$ sous-colliers obtenus en deux groupes contenant chacun autant de perles de chaque type, et ce indépendamment du nombre total $n$ de perles. Si le collier est à partager entre deux personnes, on a ainsi obtenu un partage équitable du collier.
Ce résultat a depuis été généralisé de plusieurs manières (par exemple, pour un partage équitable entre plus de deux personnes) et pose un certain nombre de questions ouvertes (par exemple, peut-on calculer rapidement un tel partage ?). L’objectif de cet exposé est de présenter un certain nombre de ces généralisations et de ces questions ouvertes.
Cet exposé entre dans le cadre du projet MIDI (Mathématiques, Informatique et structures DIscrètes) .

11 janvier 2016 Claudio Landim (LMRS, Rouen) Markov chain model reduction We examine the asymptotic evolution of two Markov chains. We start with the Kawasaki dynamics at inverse temperature $\beta$ for the Ising lattice gas on a two-dimensional square of length $2L+1$ with periodic boundary conditions. We assume that initially the particles form a square of length $n$, which may increase, as well as $L$, with $\beta$. We show that in a proper time scale the particles form almost always a square and that the center of mass of the square evolves as a Brownian motion when the temperature vanishes. Then, we consider a sequence of possibly random graphs $G_N=(V_N,E_N)$, $N\geq1$, whose vertices's have i.i.d. weights $\{W^N_x:x∈V_N\}$ with a distribution belonging to the basin of attraction of an $\alpha$-stable law, $0<\alpha<1$. Let $X^N_t$, $t\geq 0$, be a continuous time simple random walk on $G_N$ which waits a mean $W^N_x$ exponential time at each vertex $x$. Under considerably general hypotheses, we prove that in the ergodic time scale this trap model converges in an appropriate topology to a $K$-process. We apply this result to a class of graphs which includes the hypercube, the $d$-dimensional torus, $d\geq2$, random $d$-regular graphs and the largest component of super-critical Erdös-Rényi random graphs.

18 janvier 2016 Nicolas Marie (ESME Sudria Paris - Modal'X) Viabilité des solutions d'équations différentielles rugueuses dans un convexe En 1990, dans le contexte du calcul d’Itô, Aubin et DaPrato ont établi une condition nécessaire et suffisante d’invariance d’un convexe $C$ de $\mathbb{R}^d$ ($d\in\mathbb{N}^*$) par une équation différentielle stochastique (EDS) dirigée par un mouvement brownien. En d’autres termes, cette condition portant sur la fonction de drift et la fonction de volatilité de l’EDS est vérifiée si et seulement si, pour toute condition initiale $y_0\in C$, la solution de $y$ de cette dernière est à valeurs dans $C$ presque surement.
Dans le contexte de la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons, l’exposé portera sur une extension du résultat de Aubin et Da Prato aux équations différentielles dirigées par un processus à trajectoires presque surement höldériennes. Le cas particulier du mouvement brownien fractionnaire sera détaillé. L’exposé s’achèvera sur une généralisation du modèle de neurone d’Hodgkin-Huxley proposé dans Cresson et al. (2012) au cas d’un signal brownien fractionnaire.
Le travail présenté a été réalisé en collaboration avec Laure Coutin.

1er février 2016 Aurélie Chapron (Modal'X, Paris Ouest, et LMRS, Rouen) Mosaïques de Voronoi sur une surface riemannienne Le but de l'exposé est d'étudier la cellule «typique» de la mosaïque de Voronoi engendrée par un processus de Poisson homogène d'intensité $\lambda$ sur une surface riemannienne. Plus précisément, nous établissons un lien entre des caractéristiques de cette cellule et la courbure de la surface. On commencera par rappeler quelques notions sur les mosaïques de Voronoi dans l'espace euclidien. On s'intéressera ensuite plus particulièrement au nombre moyen de côtés, d'abord sur le plan puis sur la sphère. On finira par généraliser à une surface quelconque en donnant un développement asymptotique (à grande intensité) du nombre moyen de côtés.

29 février 2016 Frédéric Paccaut (LAMFA, Amiens) Systèmes dynamiques de l'intervalle, $g$-mesures et VLMC Après avoir défini les objets ($g$-mesures et chaînes de Markov à longueur variable, VLMC), on explicitera la correspondance entre une certaine classe de systèmes dynamiques de l'intervalle et les VLMC stationnaires. On discutera ensuite de la question de l'existence des $g$-mesures et des mesures stationnaires pour les VLMC.

Jeudi 10 mars : séance exceptionnelle, commune avec le GT de statistique

10 mars 2016, 10h15 Yasumasa Matsuda (Faculté d'Economie, Univ. Tohoku, Japon) CARMA random fields We define an isotropic Lévy-driven CARMA$(p,q)$ random field on $\mathbb{R}^n$ as the integral of an isotropic CARMA kernel with respect to a Lévy sheet. Such fields constitute a parametric family characterized by an autoregressive polynomial and a moving average polynomial having zeros in both the left and right complex half-planes. They extend the well-balanced Ornstein-Uhlenbeck process of Schnurr and Woerner (2011) to a well-balanced CARMA process in one dimension (with a much richer class of autocovariance functions) and to an isotropic CARMA random field on $\mathbb{R}^n$ for $n>1$. We derive second-order properties of these random fields and find that the CAR(1) fields constitute a subclass of the well known Matèrn class. If the driving Lévy sheet is compound Poisson it is a trivial matter to simulate the corresponding random field on any $n-$dimensional hypercube. A method for joint estimation of the CARMA kernel parameters and knot locations is proposed for compound-Poisson-driven fields and is illustrated by applications to simulated data and Tokyo land-price data.

14 mars 2016 Philippe Soulier (Modal'X, Paris Ouest) Le diamètre d'un nuage de points de loi elliptique Un problème naturel mais relativement peu étudié en géométrie aléatoire est le comportement asymptotique du diamètre d'un nuage de points aléatoires. Il s'agit d'un problème de valeurs extrêmes non standard puisque le diamètre est une max-U-statistique, c'est-à-dire un maximum de variables aléatoires non indépendantes. Dans le cas d’un nuage de points de loi sphérique et lorsque le rayon est dans le domaine d’attraction de la loi de Gumbel, Jammalamadaka and Janson (2015) ont récemment prouvé que le diamètre se comporte comme à peu près deux fois le maximum des normes et converge tout de même vers la loi de Gumbel. Nous étudions le cas non sphérique, c'est à dire lorsque l'angle n'est pas indépendant du rayon encore lorsque le rayon est dans le domaine d'attraction de la loi de Gumbel. A la différence du cas sphérique, les points éloignés de l'origine se concentrent sur des sous-espaces propres et la loi limite du diamètre peut être soit la loi de Gumbel soit une loi composite.
Travail en collaboration avec Yann Deminchel et Ana-Karina Fermin (Université Paris Ouest).

21 mars 2016 Christophe Cuny (MICS, Centrale Paris) Théorèmes ergodiques pondérés Soit $(X,\Sigma,\mu,\theta)$ un système dynamique (ergodique). Soit $(w_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de réels et $W_n=|w_0|+\cdots + |w_{n-1}|$. Pour $f\in L^p(\mu)$ ($p\ge 1$), on s'intéresse à la convergence presque-sûre des moyennes pondérées \[ \frac1{W_n} (w_0f+ \cdots +w_{n-1}f\circ \theta^{n-1})\, , \] ce qui constitue une généralisation du théorème ergodique de Birkhoff (cas où $(w_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est constante). On établira la convergence lorsque $(w_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est donnée par certaines fonctions arithmétiques par diverses méthodes. On traitera notamment le cas de la fonction diviseur en utilisant la méthode de Bourgain, initialement mise en œuvre pour établir des théorèmes ergodiques le long de sous-suites.
(Travail en collaboration avec Michel Weber.)

25 avril 2016 Sebastián Donoso (Université hébraïque de Jérusalem) Topological structures and the pointwise convergence of some averages for commuting transformations Topological structures associated to a topological dynamical system are recently developed tools in topological dynamics. They have several applications, including the characterization of topological dynamical systems, computing automorphisms groups and even the pointwise convergence of some averages. In this talk I will discuss some developments of this subject, emphasizing applications to the pointwise convergence of some averages.

30 mai 2016 Marwa Banna (Télécom ParisTech) Universalité de la distribution spectrale limite de matrices à entrées corrélées L’étude des matrices aléatoires est un sujet important qui trouve application dans plusieurs domaines comme la mécanique quantique, le traitement de signal appliqué aux télécommunications, la finance, etc. Dans cet exposé, je ferai une petite introduction sur la théorie des matrices aléatoires, et plus précisément sur l'étude du comportement asymptotique global du spectre de ces matrices. Puis, je présenterai un résultat d'universalité de la distribution spectrale limite pour des matrices dont les entrées sont des fonctions de variables aléatoires indépendantes. La preuve est basée sur une technique de blocs associée à la méthode de Lindeberg.

13 juin 2016 Nicolas Chenavier (LMPA Joseph Liouville, Université du Littoral) Phénomène du 1er chiffre et produit de variables aléatoires Étant donnée $(X_n)$ une suite de variables aléatoires (non indépendante et pas nécessairement stationnaire), on pose $Y_n:=\prod_{i=1}^n X_i$. Dans cet exposé, on fournit des conditions sur la suite $(X_n)$ garantissant que la mantisse de $(Y_n)$ est presque sûrement une suite de Benford ou/et converge en loi vers la loi de Benford. (Travail joint avec B. Massé et D. Schneider).

27 juin 2016 Karl Petersen (University of North Carolina, Chapel Hill, USA) Coding adic systems with various orders Which adic (Bratteli-Vershik) systems can be coded essentially faithfully by the first $k$ edges of their paths for some fixed $k$? If so they can be studied as legitimate subshifts, even if the adic transformation cannot be defined everywhere as a homeomorphism. The classical odometer, in its usual presentations, does not permit such a coding, while the Pascal system with the usual left-right ordering does. In joint work with Sarah Bailey Frick and Sandi Shields, we show that every ordering of the Pascal system does allow for essentially faithful coding, by the first three edges. Moreover, the resulting subshifts (on the alphabet with eight symbols) are all topologically weakly mixing. We also give a necessary and sufficient condition for a simple properly ordered adic system to be topologically conjugate to an odometer.

Jeudi 30 juin : séance exceptionnelle, commune avec le GT de statistiqu Wei Biao Wu (University of Chicago) $L^2$ Asymptotic Theory for High-Dimensional Data I will present an asymptotic theory for $L^2$ norms of sample mean vectors of high-dimensional data. An invariance principle for the $L^2$ norm is derived under conditions that involve a delicate interplay between the dimension $p$, the sample size $n$ and the moment condition. Under proper normalization, central and non-central limit theorems are obtained. To perform the related statistical inference, I will propose a plug-in calibration method and a re-sampling procedure to approximate the distributions of the $L^2$ norms. The results will be applied multiple tests and inference of covariance matrix structures.


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