Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Thierry de la Rue. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 10h30 à 11h30 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2014-2015

15 septemre 2p14. Julien Reygner (LPMA, Université Pierre et Marie Curie, et CERMICS, Université Paris-Est) Multitype sticky particles and probabilistic solutions to hyperbolic systems of nonlinear PDEs We study hyperbolic systems of nonlinear PDEs with monotone and bounded data. Without loss of generality, we assume that these data are cumulative distribution functions (CDFs) on the real line, and look for solutions that remain so at all time. Such solutions are called probabilistic solutions.
In the scalar case, it is known that the probabilistic solution can be approximated by the empirical CDF of a system of sticky particles introduced by Brenier and Grenier, that is described as follows: particles travel on the real line at constant velocity and stick into clusters at collisions, with conservation of mass and momentum. Stability estimates on the probabilistic solution in Wasserstein distance were obtained by Bolley, Brenier and Loeper.
We introduce a multitype version of the sticky particle dynamics and use it to obtain the existence of a probcbilirtac solution for any choice of data, under a uniformly strict hyperbolicity assumption on the system. We then derive similar Wasserstein stability estimates. A key ingredient of our proof is a uniform $L^p$ stability estimate on the evolution of the particle system.
Joint work with Benjamin Jourdain and Régis Monneau.

22 septembre 2014 Mariusz Lemańczyk (Université Nicolas Copernic, Toruń, Pologne) Systèmes $B$-libres: ensemble des mesures invariantes et ergodicité intrinsèque En 2010, P. Sarnak a proposé d'étudier le sous-shift engendré par la fonction de Möbius $\mu:\mathbb{N}\to\{-1,0,1\}$. Il a encadré la valeur de l'entropie topologique de ce système par l'entropie topologique du sous-shift determiné par $\mu^2$, la fonction caracteristique de l'ensemble des nombres sans carré (square-free numbers), et a formulé une liste de problèmes ouverts. Étant donné $B\subset\mathbb{N}$, $B=\{b_1 < b_2 < ...\}$, satifaisant $(b_i,b_j)=1$ pour $i\neq j$ et $\sum_{i\geq1}1/b_i<+\infty$, on dénote par $F_B$ l'ensemble des nombres $B$-libres : \[ F_B:=\{n\in\mathbb{N}: \text{ aucun }b_i\text{ ne divise }n\}. \] Par exemple, si $B$ est l'ensemble des carrés des nombres premiers, $F_B$ est l'ensemble des nombres sans carrés.
Je vais présenter la solution du problème des mesures invariantes dans toute la classe des systèmes $B$-libres et, en particulier, on va démontrer que de tels systèmes ont une mesure unique d'entropie maximale (ergodicité intrinsèque). L'exposé est basé sur mes travaux communs avec J. Kułaga-Przymus et B. Weiss, et avec H. El Abdalaoui et T. de la Rue.

06 octobre 2014 Davide Giraudo (LMRS, Rouen) Une condition suffisante pour la décomposition ortho-martingale/cobord pour les champs aléatoires Étant donné un champ aléatoire strictement stationnaire, nous fournirons une condition suffisante permettant de donner une décomposition ortho-martingale/cobord, où nous considérons les ortho-martingales au sens de Cairoli (1969). Ceci permet de déduire certains théorèmes limites qui ont lieu pour ces ortho-martingales, ainsi que des inégalités de moments et de grandes déviations. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Mohamed El Machkouri.

20 octobre 2014 Christophe Biscio (Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes) Quantifier la répulsion des processus ponctuels déterminantaux Les processus ponctuels déterminantaux (DPPs) ont été largement étudiés en probabilité dans les années 2000. Ils ont depuis été appliqués dans divers domaines des statistiques (statistique spatiale, machine learning, télécommunications,…), où ils sont utilisés pour modéliser des phénomènes répulsifs au sens où les points tendent à se repousser entre eux.
Nous cherchons à trouver le ou les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Dans ce but, nous considérons deux approches pour quantifier leur répulsion. Pour chacune d'elles, nous déterminons les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Nous étudions également la répulsion dans le sous ensemble des DPPs R-dépendant. Enfin, nous présentons de nouvelles familles paramétriques de DPPs permettant de couvrir toutes la plage de répulsion possible entre le processus de Poisson (qui n'implique aucune interaction) et le DPP le plus répulsif.

17 novembre 2014 Béatrice de Tilière (LPMA, Université Pierre et Marie Curie) Du modèle d'Ising critique aux arbres couvrants Nous allons montrer une relation explicite entre le carré de la fonction de partition du modèle d'Ising critique et les arbres couvrants, exhibant ainsi une relation forte entre deux modèles classiques de mécanique statistique.

1er décembre 2014 Emmanuel Roy (Université Paris Nord) Suspensions de Poisson à autocouplages Poissoniens Le but de ce travail est de donner un exemple de suspension de Poisson dont les autocouplages ergodiques conservent encore le caractère Poissonien.
L’outil central est le fait remarquable et bien connu suivant : un processus stochastique à temps continu, dont les accroissements sont indépendants, a des lois fini-dimensionnelles infiniment divisibles.
Travail en collaboration avec François Parreau

15 décembre 2014 Irène Marcovici (Institut Élie Cartan de Lorraine) Combinatoire, percolation, et physique statistique : les automates cellulaires probabilistes en jeu Je présenterai un automate cellulaire probabiliste (ACP) dont la définition est extrêmement simple, et qui intervient à la fois dans un problème de combinatoire (énumération des animaux dirigés) et dans la résolution d'un jeu lié à la percolation. Il est également lié au modèle des sphères dures en physique statistique. Dans un travail en collaboration avec James Martin, nous prouvons l'ergodicité de cet ACP pour toute valeur du paramètre de définition, répondant ainsi à des questions dans ces différents domaines. Cet exposé entre dans le cadre du projet MIDI (Mathématiques, Informatique et structures DIscrètes) .

12 janvier 2015 Joseph Yukich (Lehigh University, USA) Random polytopes The random polytope $K_n$ given as the convex hull of $n$ i.i.d. random points in $d$-dimensional Euclidean space is a well-studied object. In this survey talk we consider the behavior of statistics of $K_n$, including the number of its extreme points, its volume, and the number of its $k$-dimensional faces, $k$ in $\{0, ... , d-1\}$. The distribution of the statistics, as well as the first and second order behavior, is sensitive to the underlying distribution of the random points. We consider the case of finite $n$ as well as the limit case when $n$ tends to infinity.
This is is based on joint work with Pierre Calka.

9 février 2015 Bastien Fernandez (LPMA, CNRS) Amortissement Landau dans le modèle de Kuramoto Le modèle de Kuramoto est l'archétype de système hétérogène d'oscillateurs (globalement) couplés à la dynamique dissipative. Une de ses caractéristiques principales est que le paramètre d'ordre, qui mesure le degré de synchronisation de la population, tend vers 0 au cours temps, quand l'intensité des interactions est suffisamment faible (de sorte que la solution stationnaire uniforme reste linéairement stable).
Si cette phénoménologie a été mise en évidence dans les premières études sur ce modèle, sa preuve mathématique restait à faire, la plupart des travaux publiés sur ce problème ne portant que sur la dynamique linéarisée.
L'objet de cet exposé est précisément de présenter des résultats rigoureux, ainsi que leurs preuves, sur l'amortissement du paramètre d'ordre dans ce régime de faible couplage. On verra en particulier que, loin d'utiliser des techniques de Systèmes Dynamiques, les preuves sont largement inspirées des preuves récentes de l'amortissement Landau dans l'équation de Vlasov, et dans le modèle Vlasov-HMF en particulier.
Collaboration avec D. Gérard-Varet et G. Giacomin

16 février 2015 Benjamin Hellouin (Andrés Bello University, Santiago, Chili) Phénomène de randomisation dans les automates cellulaires On s'intéresse au comportement asymptotique typique des automates cellulaires quand la configuration initiale est tirée au hasard, ce qui revient à étudier leur action sur l'espace des mesures de probabilité. En particulier, on observe pour une certaine famille d'automates un phénomène dit de randomisation : les mesures initiales simples sont envoyées sur la mesure uniforme.
Ce problème s'inscrit dans notre étude plus générale des mesures limites d'automates cellulaires. Quand la dynamique considérée est surjective (ce qui inclut les dynamiques réversibles), l'automate cellulaire possède une rigidité qui se prête à une approche combinatoire ou de probabilité discrète ; malgré tout, très peu est connu concernant l'action sur l'espace des mesures.
Nous conjecturons, résultats expérimentaux à l'appui, que certaines propriétés dynamiques imposent la randomisation. Cependant, ce n'est que récemment que nous avons terminé la première preuve complète de l'apparition de ce phénomène dans un automate cellulaire possédant une structure algébrique particulière. Notre preuve, constituée essentiellement de probabilités dicrètes, utilise des structures auto-similaires dans l'évolution temporelle de l'automate.
Ces différents travaux sont issus de collaborations avec Alejandro Maass, Irène Marcovici, Mathieu Sablik, Ville Salo et Guillaume Theyssier.
Cet exposé entre dans le cadre du projet MIDI (Mathématiques, Informatique et structures DIscrètes) .

9 mars 2015 Nathanaël Enriquez (Modal'X, université Paris Ouest) Spectre de graphes aléatoires dilués mais touffus La mesure spectrale empirique de la matrice d’adjacence d’un graphe d’Erdös-Rényi à $n$ sommets et de paramètre $c/n$ tend vers la loi du demi-cercle lorsque $n$ puis $c$ tendent vers l’infini. Nous calculons explicitement la perturbation d’ordre $1/c$ par-rapport à la loi du demi-cercle lorsque $c$ est grand. (Travail en collaboration avec Laurent Ménard)

23 mars 2015 Adam Kanigowski (Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences) Slow entropy for smooth flows on surfaces We consider a class of mixing special flows over rotations with power-type singularities ($x^\gamma$ for some $-1 \le\gamma \le 0$). Under some assumption on the rotation angle, we show that the slow entropy of the corresponding special flow is equal to $\gamma$. As a consequence, we get that the type of the singularity is an invariant of measure-theoretic isomorphism.

30 mars 2015 Samuel Petite (LAMFA, Université de Picardie Jules Verne) Sur les groupes d'automorphismes de sous-shifts de faible complexité Le but de cet exposé est de présenter un survol des résultats connus sur les automorphismes, ou automates cellulaires, préservant un sous-shift $X$. En particulier, on montrera pourquoi pour un sous shift minimal de complexité infiniement sous affine, e.g. Sturmien ou issu d'une substitution, le groupe des automorphismes est engendré par le shift et un groupe fini de transformations. Pour une classe de sous shifts avec une récurrence polynomiale, on montre que n'importe quel sous groupe finiment engendré est virtuellement nilpotent.
Il s'agit d'un travail en commun avec F. Durand, S. Donoso et A. Maass.
Cet exposé entre dans le cadre du projet MIDI (Mathématiques, Informatique et structures DIscrètes) .

20 avril 2015 Julien Deschamps (DIMA, Université de Gênes) Variables obtuses et martingales normales complexes Nous nous intéresserons à une classe de variables aléatoires, les variables obtuses, apparaissant dans certains modèles physiques que je présenterai brièvement. Après l’étude de quelques propriétés (minimalité de ces variables parmi les variables centrées réduites, un caractère générique,...), je décrirai comment associer naturellement à ces variables obtuses des coefficients, un 3-tenseur, possédant des symétries caractéristiques. Cette famille jouera un rôle important par la suite et particulièrement dans l’étude de la convergence en temps continu d'une marche aléatoire iid définie à partir d'une variable obtuse. Je montrerai que le processus obtenu à la limite, une martingale normale, satisfait des équations de structure dépendant explicitement de ce 3-tenseur. Ce dernier nous permettra de plus d’obtenir le comportement de la martingale et d’identifier les directions de l’espace dans lesquelles la martingale évolue comme un processus de Poisson et celles dans lesquelles le comportement est purement brownien.

18 mai 2015 Mahandra Nadkarni (Université de Bombay, membre de l'Académie des Sciences de l'Inde) Did Cantor sow the seed of measure and integral? Bourbaki says in his Elementary of history of Mathematics that Cantor inaugurated measure theory. In this talk, we discuss how well he did.

8 juin 2015 Khalifa ES-SEBAIY (Université Cadi Ayyad de Marrakech, Maroc) Statistical estimation for SDEs related to stationary Gaussian processes We study central and non-central limit theorems for partial sum of functionals of general stationary Gaussian fields. We apply our result to study drift parameter estimation problems for some stochastic differential equations related to stationary Gaussian processes.


Années précédentes : 2013-2014, 2012-2013, 2011-2012, 2010-2011.

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