Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Thierry de la Rue. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 10h30 à 11h30 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2013-2014

16 septembre 2013, Mariusz Lemańczyk (Toruń, Pologne) Fonction de Möbius et extensions continues de rotations On va présenter la conjecture de Sarnak dans les deux contextes suivants :
a) produits de Anzai $T_\phi$ (version générique pour la rotation $Tx=x+\alpha$ avec un cocycle fixé $\phi$;
b) extensions de Rokhlin des rotations irrationnelles (cas relativement faiblement mélangeant).
Comme exemple de conséquences, on obtient que si $(S_t)$ est un flot horocyclique sur $Y:=SL_2(\mathbb{R})/\Gamma$ (cas cocompact), $f\in C(Y)$, $y\in Y$, $x\in\mathbb{T}$ et $\mu$: $\mathbb{N}\to\{0,\pm1\}$ désigne la fonction de Möbius, $$ \frac1N\sum_{n=1}^N f(S_{\phi^{(n)}x}(y))\mu(n)\longrightarrow 0. $$ Cet exposé est basé sur un travail récent en collaboration avec Joanna Kułaga-Przymus.

14 octobre 2013, Davide Giraudo (Rouen) Un contre-exemple strictement stationnaire mélangeant au théorème central limite en dimension infinie Denker a démontré en 1986 que pour une suite strictement stationnaire à valeurs dans $\mathbb R^d,d\in\mathbb N^*$ vérifiant les conditions usuelles pour un théorème central limite (moyenne nulle, variance des sommes partielles qui tend vers l'infini) et une condition d'$\alpha$-mélange, alors la convergence en loi des sommes partielles normalisées est équivalente à l'intégrabilité uniforme de la famille $\left\{\frac{\lVert X_1+\dots+X_n\rVert^2}{\mathbb E\lVert X_1+\dots+X_n\rVert^2},n\geqslant 1\right\}$. On donne un exemple de suite strictement stationnaire à valeur dans le Hilbert séparable des suites de carré sommable, qui vérifie des conditions de mélange presque optimales, la propriété d'intégrabilité uniforme, possède des moments de tout ordre mais pas de normalité asymptotique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Dalibor Volný.

21 octobre 2013, Mahmoud Filali (Université d'Oulu, Finlande) Interpolation sets and quotients of function spaces Interpolation sets have been a key technique for the construction of functions of various types on infnite discrete groups $G$. They have the crucial property that any bounded function defined on them extends to the whole group as a function of the required type. For the almost periodic functions on locally compact groups $G$, interpolation sets are usually known as $I_0$-sets and were introduced by Hartman and Ryll-Nardzewsky in 1964. Interpolation sets for the functions in the Fourier-Stieltjes algebra ${\mathcal B}(G)$ are usually known as Sidon sets. Ruppert (1985) and Chou (1990) considered interpolation sets for the algebra of weakly almost periodic functions, (again) with the extra condition that the characteristic function of the set is weakly almost periodic. Ruppert called them translation-finite sets (after their combinatorial characterization) and Chou called them $RW$-sets(after their interpolation properties).
In many of the proofs that estimate the size of the quotient ${\mathcal A}_2(G)/{\mathcal A}_1(G)$ for $C^*$-subalgebras ${\mathcal A}_1(G) \subset {\mathcal A}_2(G)$ of $l_\infty(G)$, the underlying structure depends on the existence of sets of interpolation for ${\mathcal A}_2(G)$ that are not sets of interpolation for ${\mathcal A}_1(G)$ (see for instance [1], [2], [3], [4] or [5]).
To make this structure emerge in a clear fashion, we start by extending and unifying the notion of the classical interpolation sets to approximable interpolation sets for algebras of functions on any locally compact group $G$.
We finally illustrate the scope of our approach by studying some concrete cases.
Joint Work with JORGE GALINDO, 2010/2013.
Bibliography
[1] A. Bouziad and M. Filali, On the size of quotients of function spaces on a topological group,Studia Math. 202 (2011) 243-259.
{[2]} A. Bouziad and M. Filali, The Stone-\v Cech compactification of a topological group as a semi-group and the SIN property, Houston J. Math. 38 no. 4 (2012) 1329-1341. to appear.
[3]} C. Chou, Weakly almost periodic functions and almost convergent functions on a group, Trans. Amer. Math. Soc. 206 (1975) 175-200.
[4] C. Chou, Weakly almost periodic functions and Fourier-Stieltjes algebras of locally compact groups, Trans. Amer. Math. Soc., 274 no. 1 (1982) 141-157.
[5]} A. M. H. Dzinotyiweyi, Nonseparability of quotient spaces of function algebras on topological semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 272 (1982) 223-235.

4 novembre 2013, Pierre Calka (Rouen) Étude asymptotique de polytopes gaussiens On considère l’enveloppe convexe d’un ensemble de $n$ points indépendants de loi gaussienne standard dans l’espace $\mathbb{R}^d$. Le polytope obtenu, dit polytope gaussien, constitue un des modèles centraux de la théorie des polytopes aléatoires qui remonte à l'énoncé du problème de Sylvester en 1864 et aux travaux fondateurs de Rényi et Sulanke à partir de 1963. Le but de cette théorie est d'étudier la loi de fonctionnelles classiques du polytope (comme le volume ou le nombre de sommets) et plus généralement d'obtenir des informations sur sa forme.
On montre qu’il existe un rayon critique de localisation des points extrémaux et que le processus frontière converge en loi après renormalisation vers un processus limite appelé processus parabolique de croissance. On en déduit notamment le calcul explicite de variances limites pour le nombre de faces $k$-dimensionnelles et le volume de l’enveloppe. On comparera les résultats au cas de polytopes engendrés par des points uniformes. On discutera enfin du lien a priori surprenant entre le polytope gaussien, le processus limite et le nombre de chocs de la solution limite de l’équation de Bürgers.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec J. E. Yukich.

18 novembre 2013, Cesar Silva (William College, USA) On rational ergodicity and mixing-like properties for infinite rank-one transformations

25 novembre 2013, Mostapha Benhenda (Varsovie, Pologne) Un difféomorphisme lisse Gaussien-Kronecker Nous construisons un difféomorphisme lisse Gaussien-Kronecker sur le cube de Hilbert $\mathbb{T} \times [0,1]^{\mathbb{N}}$, de dimension infinie dénombrable. Pour obtenir ce difféomorphisme, nous adaptons une construction de Thierry de la Rue, qui utilise des transformations du mouvement brownien plan.

2 décembre 2013, Joanna Kułaga-Przymus (Toruń, Pologne) The Chowla and Sarnak's conjectures - ergodic viewpoint During my talk I will discuss relations between the two conjectures and other properties. The main one is that the Chowla conjecture implies Sarnak's conjecture. I will present a sketch of the proof of this fact.

27 janvier 2014, Marie Théret (LPMA, Université Paris Diderot) Étude de la circulation de l'eau dans une roche poreuse via le modèle de percolation de premier passage Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe $\mathbb{Z}^d/n$ pour $d\ge2$. Nous l'interprétons comme un modèle de roche poreuse : les arêtes du graphes sont de petits tuyaux, auxquels nous associons une famille de capacités aléatoires i.i.d. Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$ et $\Gamma$ sa frontière. Soient $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ deux ouverts disjoints de $\Gamma$ qui représentent la zone de $\Gamma$ à travers laquelle de l'eau peut rentrer dans $\Omega$ et en sortir. Une loi des grands nombres pour le flux maximal de $\Gamma_1$ à $\Gamma_2$ dans $\Omega$ quand $n$ tend vers l'infini est déjà connue. Sous certaines conditions sur la régularité du domaine et sur la loi des capacités des arêtes, nous prouvons la convergence p.s. d'une suite de courants maximaux (respectivement d'ensembles de coupure minimaux) vers l'ensemble des solutions d'un problème de courant continu maximal (respectivement d'ensemble de coupure minimal) non aléatoire.

3 février 2014, Abdellatif Koukkous (Université Ibn Zohr, Agadir, Maroc) Processus de zero range en milieu aléatoire avec réservoirs : comportement hydrodynamique et grandes déviations Nous considèrons le processus de zero range en environnement stochastique en volume fini avec naissances et morts aux réservoirs. Nous traitons de la limite hydrodynamique : pour presque tout environnement, on démontre que la mesure empirique converge vers l'unique solution faible d'une équation de diffusion non linéaire indépendante de l'environnement. D'autre part, pour cette limite hydrodynamique, on établit un principe de grandes déviations (borne inférieure et borne supérieure). La particularité dans ce cas est, d'une part la densité de particules n'est pas bornée, et d'autre part, la fonctionnelle d'action n'est pas convexe. La preuve relève principalement de l'estimée sur-exponentielle et les arguments qui reposent sur la $I$-densité, consistent à approximer une trajectoire générale par une suite de profils de plus en plus réguliers. (cf. L. Bertini, C. Landim, M. Mourragui,(2009); J. Quastel,(1995); J. Farfan , C. Landim , M. Mourragui, (2011); O. Benois (1996) et A. Koukkous, H. Guiol (2001)).

10 février 2014, Eva Löcherbach (Cergy-Pontoise) Limite hydrodynamique de systèmes de neurones en interactions Nous étudions la limite hydrodynamique d'un processus stochastique qui décrit l'évolution d'un système de $N$ neurones avec interactions du type champs moyen. Ces interactions sont le résultat de l'influence de synapses chimiques ainsi que de synapses électriques (gap junctions). Chaque neurone produit des décharges (spikes) avec un taux qui dépend de la hauteur de son potentiel de membrane. Aux temps de décharge, le potentiel de membrane est remis à un niveau de repos (0), les autres neurones reçoivent en même temps un potentiel supplémentaire de la hauteur $1/N$. De plus, les synapses électriques ont pour effet qu'entre deux sauts successifs, le système est attiré vers sa valeur moyenne. Le processus est ainsi décrit comme un simple PDMP (processus de Markov déterministe par morceaux).
Nous montrons que, lorsque le nombre de neurones tend vers l'infini, la mesure empirique du processus tend vers une limite déterministe qui décrit une densité limite. Cette densité limite est solution d'une EDP non-linéaire du type hyperbolique.
Travail en collaboration avec Anna De Masi, Antonio Galves et Errico Presutti.

17 février 2014, Arnaud Rousselle (Rouen) Marches au hasard sur des graphes aléatoires engendrés par des processus ponctuels
dans $\mathbb{R}^d$
Les marches aléatoires sur des graphes aléatoires plongés dans $\mathbb{R}^d$ apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes issus de la mécanique statistique dans des milieux aléatoires et irréguliers tels que la description de flux, de diffusions de molécules ou de chaleur. L'idée générale est d'étendre des résultats connus sur la grille $\mathbb{Z}^d$ à des graphes engendrés par des processus ponctuels dans $\mathbb{R}^d$.
Dans cet exposé, on considère des marches à conductances sur des graphes dépendant de la géométrie d'un ensemble aléatoire et infini de points. Plus précisément, étant donnée une réalisation d'un processus ponctuel simple dans $\mathbb{R}^d$, un graphe $G=(S,A)$, connexe, infini, localement fini, est construit et muni d'une fonction de conductance $C$, c'est-à-dire une fonction strictement positive et symétrique sur son ensemble d'arêtes $A$. La marche aléatoire sur $G$ associée à $C$ est la chaîne de Markov $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ homogène en temps dont les probabilités de transition sont données par : \[\mathbb{P}\big[X_{n+1}=v\big| X_n=u\big]=\frac{C(u,v)}{w(u)},\] où $w(u):=\sum_{v\sim u}C(u,v)$.
Deux critères généraux pour la récurrence ou la transience presque-sûre de telles marches seront présentés. Les preuves de ces résultats s'appuient sur une analogie bien connue entre les marches aléatoires et les réseaux électriques, ainsi que sur une comparaison avec les marches aléatoires sur les amas de percolation en régime sur-critique dans $\mathbb{Z}^d$ pour $d\geq 3$. Sous des hypothèses convenables sur le processus ponctuel sous-jacent et la fonction de conductance, on montre que les marches aléatoires sur la triangulation de Delaunay, le graphe de Gabriel et le squelette de la mosaïque de Voronoï engendrés par presque toute réalisation de ce processus ponctuel sont récurrentes si $d=2$ et transientes si $d\geq 3$.
On présentera également un principe d'invariance annealed (ou en moyenne) pour les marches simples partant de l'origine sur la triangulation de Delaunay et le graphe de Gabriel engendrés par les versions de Palm de certains processus ponctuels.

24 février 2014, Nicolas Marie (Université Paris-Ouest) Sur l'ergodicité d'une extension trajectorielle de l'équation de Jacobi Soient un processus gaussien centré $W$ à trajectoires $\alpha$-höldériennes ($\alpha\in ]0,1[$), ainsi que l'équation type Jacobi $$ (1)  \textrm{d}Y_t = \theta\left(\mu - Y_t\right) \textrm{d}t + \gamma\left[\theta Y_t\left(1 - Y_t\right)\right]^{\beta} \textrm{d}W_t $$ ($Y_0,\mu\in ]0,1[$, $\theta\in\mathbb{R}_{+}^{*}$ et $\gamma\in\mathbb{R}^*$) avec $\beta\in ]0,1[$.
Le champ de vecteurs de l'équation (1) présentant un manque de régularité au voisinage de $0$ et $1$, seule l'existence d'une solution locale est garantie a priori.
Lorsque $W$ est un mouvement brownien, (1) est classiquement prise au sens d'Itô, et le caractère markovien des processus de diffusion permet d'obtenir l'existence d'une unique solution globale (cf. S. Karlin et H.M. Taylor (1981)).
L'exposé portera sur l'étude l'équation (1), prise au sens des trajectoires rugueuses, lorsque $W$ n'est pas une semi-martingale.
Seront établis pour l'équation (1) : l'existence d'une unique solution globale à trajectoires $\alpha$-höldériennes dès que $\beta\in ]1-\alpha,1[$, la régularité (continuité et différentiabilité) de l'application d'Itô partielle qui à la condition initiale et au signal associe la solution, ainsi que l'existence d'un schéma d'approximation convergeant uniformément vers la solution presque surement et dans $L^p$ ; $p\in [1,\infty[$.
Pour un signal brownien fractionnaire, l'exposé se concentrera ensuite sur le comportement en temps long du processus $Y$, et l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue de la loi de $Y_t$ ; $t\in\mathbb{R}_+$.
En s'appuyant notamment sur la régularité de l'application d'Itô partielle, l'existence d'un point fixe aléatoire $\hat Y$ pour le système dynamique aléatoire continu (cf. L. Arnold (1998)) naturellement associé à $Y$ sera démontrée, puis un théorème ergodique pour $Y$ sera établi.
Avec le calcul de Malliavin, la régularité de l'application d'Itô partielle permet également de montrer que la loi de $Y_t$ admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue pour tout $t\in\mathbb{R}_+$. Une expression de cette dernière sera proposée à l'aide du résultat central de I. Nourdin et F. Viens (2009).
Références
N. Marie. Ergodicity of a Generalized Jacobi's Equation and Applications. arXiv:1308.4884, 2013.

17 mars 2014, Matthias Schulte (Karlsruhe Institute of Technology, Allemagne) Normal approximation on Poisson spaces: Mehler's formula, second order Poincaré inequalities and stabilization This talk concerns second order Poincaré inequalities for the normal approximation of Poisson functionals and their application to problems in spatial stochastics. A random variable that only depends on an underlying Poisson process is denoted as a Poisson functional. The Kolmogorov distance and the Wasserstein distance between such a Poisson functional and a Gaussian random variable can be estimated by expressions involving only the first and second order difference operators of the Poisson functional. The proofs of these so-called second order Poincaré inequalities are based on Stein's method, the Malliavin operators, the Poincaré inequality and Mehler's formula. As applications central limit theorems with rates of convergence are derived for the $k$-nearest neighbour graph, faces of Voronoi tessellations and some functionals of Poisson shot noise random fields.
This is joint work with G. Last and G. Peccati.

24 mars 2014, Alexander Prihkod'ko (LATP, I2M, Université Aix-Marseille) Quelques exemples dans la théorie des couplages d'actions de groupes non-commutatifs On discute quelques contre-exemples non-commutatifs dans la théorie des couplages d'actions avec mesure invariante. En particulier, nous considérons des actions de rang un du groupe de Heisenberg qui ne sont pas MSJ(2).

7 avril 2014, Gabriel Faraud (Université Paris Ouest) Réseaux de télécommunications ad-hoc Nous étudions un réseau de télécommunications fonctionnant sans infrastructure centrale, mais utilisant les appareils des utilisateurs à la fois comme émetteurs/récepteurs et comme intermédiaires. Ainsi un message peut sauter d'un appareil à l'autre pour aller de l'émetteur au récepteur. Les appareils ayant un rayon de transmission fini, la structure de connectivité du graphe obtenue est donnée par le modèle de percolation continue. Cependant à cette dimension s'ajoute une dimension stochastique, induite par le mouvement des utilisateurs.
Ce modèle a fait l'objet d'une attention importante de la part de la communauté des sciences de l'information, concernant autant la question des protocoles informatiques, que celle qui nous intéresse, la fiabilité du réseau. Cependant, l'approche proposée, essentiellement numérique et heuristique, donne des résultats peu satisfaisants. Nous proposons une approche plus formelle, à savoir la limite thermodynamique.
Nos travaux en collaboration avec H. Döring et W. König incluent une formule pour le pourcentage de temps de connexion entre deux utilisateurs, et une analyse à l'aide des grandes déviations de la vitesse de convergence, et font l'objet d'un article disponible sur arXiv.

14 avril 2014, Mustapha Mourragui (Rouen) Comportement asymptotique du courant empirique dans les systèmes de particules hors équilibre Je vais présenter quelques idées principales qui permettent d'obtenir le comportement hydrodynamique et les grandes déviations pour le courant empirique associé à un système de particules.

5 mai 2014, Hatem Hajri (Université du Luxembourg) Équations différentielles stochastiques sur les graphes La première partie de l'exposé sera une introduction au calcul stochastique sur les graphes : Mouvement brownien de Walsh, Théorème de Tsirelson, formule d'Ito... Dans une deuxième partie, on étudiera quelques exemples d'EDS sur les graphes ainsi que les flots stochastiques qui leur sont associés.

19 mai 2014, Wilfrid Gangbo (Georgia Tech, USA) Existence de solution dans une équation apparaissant dans les jeux à champs moyens Nous montrons l'existence de solutions dans une équation d'Hamilton-Jacobi non-locale, appelée Équation Maîtresse (Master Equation) dans la théorie des jeux à champs moyens. La théorie de Monge-Kantorovich se révèle être un outil très précieux dans ce travail. (Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec A. Swiech.)

16 juin 2014, Karl Petersen (University of North Carolina, Chapell Hill, USA) Measuring complexity and interconnectivity in dynamical systems Edelman, Sporns, and Tononi proposed a variation on entropy that they called intricacy as a measure of complexity or interconnectivity of neural networks. Buzzi and Zambotti studied it for families of random variables. With Ph.D. student Ben Wilson we define a version for dynamical systems and examine some of its properties, including comparison with the usual measure-theoretic and topological entropies.

23 juin 2014, Ross Hemsley (INRIA, Sophia Antipolis) Efficiently Navigating a Random Delaunay Triangulation Planar graph navigation is an important problem with significant implications to both point location in geometric data structures and routing in networks. Whilst many algorithms have been proposed, very little theoretical analysis is available for the properties of the paths generated or the computational resources required to generate them. In this work, we propose and analyse a new planar navigation algorithm for the Delaunay triangulation. We then demonstrate a number of strong theoretical guarantees for the algorithm when it is applied to a random set of points in a convex region.

30 juin 2014, Jean-Gabriel Luque (LITIS, Rouen) L'importance du déterminant de Vandermonde Le déterminant de Vandermonde est un objet dont la définition est très simple. Il apparaît néanmoins dans des résultats profonds et des théories variées. Nous brosserons un tableau non-exhaustif de certaines de ces applications, en particulier dans les domaines :
– de la théorie des invariants,
– des fonctions symétriques,
– de la théorie des représentation,
– de l'algèbre multilinéaire,
– des matrices aléatoires,
– de l'effet de Hall quantique,
etc.


Années précédentes : 2012-2013, 2011-2012, 2010-2011.

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