Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Pierre Calka et Dalibor Volný. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 10h30 à 11h30 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2012-2013

Années précédentes : 2011-2012, 2010-2011.

17 septembre 2012, Mariusz Lemańczyk (Toruń, Pologne) Autocouplages d'ordres supérieurs dans le problème de non-réversibilité de flots ergodiques Nous traiterons le problème d'isomorphisme/non-isomorphisme d'un flot avec le flot à temps renversé. Nous verrons quelques exemples de base pour illustrer un tel phénomène, ainsi que quelques critères simples de non-isomorphisme (flots spéciaux, actions de Mackey inclus).
La fermeture faible de l'ensemble des mesures off-diagonales d'ordres supérieurs à 2 nous donnera le critère principal de non-isomorphisme d'un flot et son inverse. Cela peut être appliqué au cas de flots spéciaux au-dessus de transformations rigides.
La contrepartie sera aussi considérée avec une solution pleine du probleme d'auto-similarité.

1er octobre 2012, Mostapha Benhenda (Institut Galilée, Université Paris 13) Un difféomorphisme lisse, ergodique et non-Loosely Bernoulli Nous construisons un difféomorphisme lisse, ergodique et non-Loosely Bernoulli sur l'anneau $[0,1] \times \mathbb{T}$. Pour cela, nous modifions une construction de Feldman (1976) et appliquons une version modifiée de la méthode d'Anosov-Katok (1969). Cette construction était annoncée par Katok depuis 1977.

8 octobre 2012, Pierre Calka (LMRS) Propriétés fractales de séries aléatoires engendrées par des mosaïques de Poisson-Voronoi Le but de cet exposé est la présentation et l'étude d'une nouvelle famille de séries aléatoires définies sur $\mathbb{R}^D$. Ce modèle est proche des séries classiques de Weierstrass et Takagi-Knopp, auxquelles s'ajoute la donnée d'une suite de partitions aléatoires de l'espace, distribuées selon des mosaïques de Poisson-Voronoi indépendantes. On montre que le graphe de la fonction ainsi obtenue est fractal avec des dimensions de boîte et de Hausdorff explicites et égales.
L'exposé débutera par une apercu général des séries de type Takagi-Knopp qui sont utilisées depuis plus d'un siècle comme modèles de signaux irréguliers ou surfaces rugueuses. On présentera ensuite, après l'avoir motivée, la construction d'une nouvelle fonction à l'aide de mosaïques de Poisson-Voronoi. Enfin, la preuve du calcul des dimensions sera évoquée : on expliquera en particulier comment adapter les critères généraux (estimation des oscillations, lemme de Frostman) et comment exploiter certaines propriétés en loi des mosaïques.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yann Demichel.

22 octobre 2012, Jean-Baptiste Bardet (LMRS) Méthodes de couplage et vitesse de convergence à l'équilibre de processus de Markov. Un (ou deux) exemple(s)

12 novembre 2012, Mohamed El Machkouri (LMRS) Une introduction à la méthode de Stein (Partie 1)

19 novembre 2012, Mohamed El Machkouri (LMRS) Une introduction à la méthode de Stein (Partie 2)

3 décembre 2012, L'exposé d'Olivier Durieu intialement prévu ce jour est reporté au 17 décembre.

10 décembre 2012, Nicolai Haydn (University of South California) Limiting behaviour for the theorem of Shannon-McMillan-Breiman The theorem of Shannon-McMillan-Breiman states that for every generating partition on an ergodic system, the exponential decay rate of the measure of cylinder sets equals the metric entropy almost everywhere (provided the entropy is finite). We show that the measure of cylinder sets are lognormally distributed for strongly mixing systems and infinite partitions and show that the rate of convergence is polynomial provided the fourth moment of the information function is finite. We also show that it satisfies the almost sure invariance principle. Unlike previous results by Ibragimov and others which only apply to finite partitions, here we do not require any regularity of the conditional entropy function.

17 décembre 2012, 9h30-10h30 Olivier Durieu (Université de Tours) Principes d'invariance pour des sommes de champs aléatoires dépendants indexées par des ensembles Pour un champ aléatoire $(X_j)$ et une mesure $\mu$ sur $\mathbb{R}^d$, on considère les sommes pondérées, indexées par des ensembles, de la forme $S_n(A)=\sum_{j\in\mathbb{Z}^d} \sqrt{\mu(nA\cap R_j)} X_j$, où $A$ est un borélien de $\mathbb{R}^d$ et $R_j$ est le cube unité entre $j$ et $j+1$. On établira un principe d'invariance général sous des conditions de dépendances introduites par W.B. Wu. et une condition d'entropie sur la classe d'ensembles. Les champs limites obtenus seront des processus Gaussiens auto-similaires à trajectoires continues. En utilisant des représentations de type Chentsov pour choisir une mesure $\mu$ et une classe d'ensembles appropriée, on pourra obtenir différents champs limites, comme des champs de Lévy (fractionnaires) ou des draps Brownien (fractionnaires).
Travail en collaboration avec Hermine Biermé.

17 décembre 2012, 11h-12h Hermine Biermé (Université Paris Descartes) Champs aléatoires autosimilaires, représentation de Chentsov et applications Lorsque $m$ est une mesure $\sigma$-finie sur $(\mathbb{R}^k,{\mathcal B}(\mathbb{R}^k))$, on peut lui associer une mesure (ou bruit) aléatoire définie en tant que processus stochastique indicé par les boréliens de mesures finies. Un analogue du théorème de la limite centrale est obtenu en choisissant $m$ une mesure autosimilaire. La limite est alors une mesure aléatoire gaussienne associée à $m$ et le résultat reste vrai sous des conditions de faible dépendance. La représentation de type Chentsov des champs aléatoires autosimilaires donnée par Takenaka permet d'en déduire un principe d'invariance pour des champs browniens fractionnaires. En considérant une mesure aléatoire de Poisson, on peut alors définir un champ poissonien fractionnaire que nous comparons au brownien. Enfin, ces résultats seront illustrés par quelques études en imagerie médicale. Ce travail est basé sur les deux références suivantes.
H. Biermé et O. Durieu Invariance principles for self-similar set-indexed sums of dependent random fields, Preprint (2012).
H. Biermé, Y. Demichel et A. Estrade, Fractional Poisson field and Fractional Brownian field: why are they resembling but different?, Preprint (2012).

28 janvier 2013 Stéphane Laurent (Liège) Filtrations standard: théorèmes de Vershik Vershik a initié la classification des suites décroissantes de partitions mesurables dans ses travaux de thèse. Nous présenterons ses principaux théorèmes sous un œil probabiliste, c'est-à-dire dans le langage des filtrations à temps discret négatif.

18 février 2013 Sacha Friedli (Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brésil) Un mécanisme de transition de phase dans les chaînes à longue portée On considère des processus stationnaires $(Z_t)_{t\in\mathbb{Z}}$, à valeurs dans un alphabet fini, spécifiés par une condition du type \[ P(Z_t=z_t|Z_{t-1}=z_{t-1},Z_{t-2}=z_{t-2},\dots) =g(z_t|z_{t-1},z_{t-2},\dots)\quad p.s., \] où $g$ est une $g$-fonction régulière, continue dans la topologie produit, donnée a priori.
En 2005 Berger, Hofmann et Sidoravicius (BHS) ont introduit un modèle de ce type, pour lequel une transition de phase a lieu: il peut exister deux processus distincts satisfaisant à la même condition de spécification ci-dessus.
On présentera ce modèle, on décrira le mécanisme donnant naissance à la transition de phase, et on discutera de certaines modifications naturelles et de leurs conséquences. En particulier, on discutera de l'usage de la règle de la majorité utilisée dans le modèle BHS, et de son rôle fondamental dans le mécanisme.

4 mars 2013 Thierry de la Rue (LMRS) Orthogonalité à Möbius dans la transformation de Chacon et ses cousines La fonction de Möbius est définie, pour $n=1,2,3,\ldots$ par $\mu(1):=1$, $\mu(n):=(-1)^t$ si $n$ est le produit de $t$ nombres premiers distincts ($t\ge 1$), et $\mu(n):=0$ si $n$ est divisible par le carré d'un nombre premier. L'étude de cette fonction est centrale dans la théorie des nombres premiers. En particulier, l'«orthogonalité» de $\mu$ avec la fonction $1$, qui signifie \[ \sum_{1\le n\le N} \mu(n) = o(N) \quad \mbox{quand }n\to\infty \] est équivalente au théorème classique des nombres premiers.
En 2010, Peter Sarnak a énoncé une conjecture importante liant la fonction de Möbius aux systèmes dynamiques : si $T:\ X\to X$ est une transformation continue d'un espace métrique compact, d'entropie topologique nulle, alors pour toute fonction continue $f$ de $X$ dans $\mathbb{R}$ et tout $x\in X$, la fonction de Möbius est orthogonale à la suite $(f(T^nx))_{n\ge 1}$, i.e. \[ \sum_{1\le n\le N} \mu(n)\, (f(T^nx) = o(N) \quad \mbox{quand }n\to\infty. \] L'objet de cet exposé sera la présentation des outils qui permettent de prouver la conjecture de Sarnak dans le cas où $(X,T)$ est le modèle symbolique associé à la célèbre transformation de Chacon : on définit par récurrence une suite de mots $(B_n)_{n\ge0}$ sur l'alphabet $\{0,1\}$, par $B_0:=0$ et $B_{n+1}:=B_nB_n1B_n$. $X$ est l'espace des suites bi-infinies de 0 et 1 dont tous les sous-mots finis sont des sous-mots d'un des $B_n$, et $T$ est le décalage des coordonnées sur $X$. Grâce à un critère établi par Bourgain, Sarnak et Ziegler, l'argument essentiel se ramène à prouver la disjonction des différentes puissances de $T$ entre elles, ce qui sera montré comme une conséquence de l'existence de limites faibles de puissances de $T$ le long de sous-suites particulières. Cette preuve se généralise à une large famille de transformations de rang un incluant de nombreux exemples rigides.
Le sujet de cet exposé est inspiré d'un travail en collaboration avec El Houcein El Abdalaoui (LMRS, Rouen) et Mariusz Lemańczyk (Toruń).

25 mars 2013 Kevin Kuoch (Université Paris Descartes) Le processus de contact classique, disons $(\xi_t)_{t \geq 0}$, est un processus de Markov à temps continu dont l'état au temps $t$ est donné par $\xi_t \in \{0, 1\}^S$ i.e. pour tout site $x \in S$, $\xi_t(x)$ représente l'état du site $x$ au temps $t$: vacant si 0 ou occupé si 1. On introduit un système de particules multitype qui est une généralisation du processus de contact classique au sens où une immigration compétitive empêche son expansion.
Après avoir présenté le cadre du processus de contact classique et quelques résultats connus, nous introduisons le modèle perturbé et exhibons sur $\mathbb{Z}^d$ une transition de phase paramétrée par le taux de migration.

8 avril 2013 Bryna Kra (Northwestern University, États-Unis) Rectangular tiling factors of $\mathbb{R}^d$-actions We study the space of tilings of $\mathbb{R}^d$ for a collection of $d$-dimensional rectangles. Rudolph showed that there exist $2^d$ such tiles such that any free measure preserving $\mathbb{R}^d$ action has a tiling from this space as a factor map, and we show that $d+1$ tiles suffices. Furthermore, by studying the geometric properties of the tilings in $\mathbb{R}^2$, we show that this result is sharp in two dimensions. This is joint work with A. Quas and A. Sahin.

6 mai 2013 Caroline Bauzet (Université de Pau) Le problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique Dans cet exposé, je présenterai l'étude faite avec G. Vallet et P. Wittbold sur une perturbation stochastique du problème de Cauchy pour une loi de conservation. Dans un premier temps, une présentation générale des lois de conservation (déterministes) sera introduite, ainsi que les éléments de calculs stochastiques nécessaires à cette étude. J'exposerai le résultat d'existence et d'unicité d'une solution faible entropique que nous avons obtenu. L'existence reposera sur une méthode de viscosité artificielle et les outils de compacité utilisés seront donnés par la théorie des mesures de Young. L'unicité de la solution faible entropique sera obtenue en adaptant la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov. Durant cet exposé, je mettrai en avant les difficultés rencontrées par l'ajout de la perturbation stochastique dans l'utilisation des techniques déterministes et les méthodes alternatives proposées. Enfin je terminerai l'exposé par quelques extensions de ce travail : étude du problème de Cauchy-Dirichlet pour une loi de conservation stochastique et approche numérique de la solution de l'équation de Burgers stochastique.

27 mai 2013 Yizao Wang (University of Cincinatti, USA) Limit laws for maximal standardized increment of a random walk We investigate the limit laws for the maximal standardized increment of a random walk. We assume that the jumps are formed by i.i.d. random variables, the distribution of which has finite Laplace transform.The case that the jumps are Gaussian has been addressed by Siegmund and Venkatraman (1995). For general distributions, our results reveal a more subtle picture: the limit law being always Gumbel, the normalization sequence depends on the distribution through their Laplace transform. In particular, we distinguish 4 different cases.
If time permits, we talk about some work in progress on similar problems with i.i.d. heavy-tailed random variables.
Joint work with Zakhar Kabluchko (Ulm University)

24 juin 2013 Eduardo Ferraz (Université de Rouen) On random geometric simplicial complexes Firstly, it will be presented the way how simplicial complexes can be defined in order to provide topological information about the coverage of a set of convex regions. Then, we consider a Poisson process on a $d$-dimensional torus, and we define its random geometric simplicial complex as the simplicial complex whose vertices are the points of the Poisson process and simplices are given by the Cech complex associated to the coverage of each point. Using concepts of algebraic topology and Malliavin calculus, we can obtain statistics concerning some topological properties of this random geometric simplicial complex.

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