Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Pierre Calka et El Houcein El Abdalaoui. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 10h30 à 11h30 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2011-2012

Années préc©detew : 2010-2011.

12 septembre 2011, 14h-17h Jérémie Unterberger (Université Nancy 1) Mini-cours sur les chemins rugueux, 1/3 (Les deux séances suivantes auront lieu les 13 et 14 septembre de 14h à 17h)
Nombre de phénomènes, notamment en physique statistique, peuvent se modéliser à l'aide d'une équation différentielle stochastique (eds) faisant intervenir dans le second membre un bruit, en général choisi blanc, i.e. décorrélé en temps. La solution est alors une semi-martingale et l'équation différentielle se comprend à l'aide de l'intégrale stochastique d'Itô ou de Stratonovich. Pour des bruits corrélés en temps et plus irréguliers que la famille brownienne, c'est-à-dire Hölder d'indice $<$ 1/2, ou encore pour des équations aux dérivées partielles, on voit apparaître de nouvelles difficultés lorsqu'on cherche à intégrer, faisant éclater le cadre traditionnel du calcul stochastique. La toute jeune théorie des chemins rugueux (ou rough paths), introduite par T. Lyons dans le milieu des années 90, donne un cadre général dans lequel définir des intégrales généralisées le long de chemins de faible régularité. Elle repose notamment sur un choix relativement arbitraire d'un nombre fini d'intégrales itérées. Les applications à l'étude des eds (équations hypoelliptiques et théorème d'Hörmander, ergodicité) et edps, cantonnées pour l'instant à des indices de régularité $>$ 1/4, se développent progressivement. La référence la plus complète sur le sujet est l'excellent livre de P. Friz et N. Victoir paru l'an dernier.
Nous nous proposons d'expliquer dans ce mini-cours les fondements de la théorie des chemins rugueux, ainsi que d'expliquer les nouveaux concepts, étrangers au calcul stochastique classique et d'origines très variées (géométrie sous-riemannienne, groupes de Carnot-Carathéodory, algèbres de Hopf, renormalisation) ayant permis les avancées les plus significatives. Si le temps le permet, et en fonction des souhaits des personnes qui assistent, nous présenterons quelques applications.

19 septembre 2011 Réunion de rentrée du groupe de travail

26 septembre 2011 Werner Nagel (Friedrich-Schiller-Universität Jena, Allemagne) Markov processes of tessellations that are generated by cell division We consider processes of random tessellations of the Euclidean space where the cells are convex polytopes. These cells can be divided individually at random times by random hyperplanes such that the divided cell gives birth to two new cells. If restricted to a bounded window (in the Euclidean space) we obtain a pure jump process (on the time axis) where the states are tessellations.
This model is rather flexible since the distributions of the life-times of the cells (closely related to Cowan's selection rule) and the distribution of the dividing hyperplane (Cowan's division rule) can be chosen in different ways. But on the other hand, most of these models seem to resist a theoretical treatment. At the moment, the STIT tessellation model (stochastically STable under the operation of ITeration of tessellations) appears to be the most fruitful one and potentially a reference model for applications.
After a general introduction the lecture will focus on several results for STIT tessellation processes. In particular stationarity and ergodic properties in space and in time are studied.
References
W. Nagel and V. Weiß, Crack STIT tessellations: characterization of stationary random tessellations stable with respect to iteration, Adv. Appl. Prob. 37 (2005), pp. 859-883.
S. Martínez and W. Nagel, Ergodic description of STIT tessellations, arXiv:1011.1989v1 [math.PR] (2010). To appear in: Stochastics: An International Journal Of Probability And Stochastic Processes.

10 octobre 2011 Julian Tugaut (Université de Bielefeld, Allemagne) Convergence en temps long d'une diffusion de McKean-Vlasov Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.

17 octobre 2011 Jean-Baptiste Bardet (LMRS) Marches aléatoires en milieu aléatoire : le point de vue du marcheur (1ère partie) Cet exposé sera consacré à la présentation du modèle de marche aléatoire en milieu aléatoire, puis de la méthode dite de « l'environnement vu par la particule », tel qu'elle a été introduite par Kozlov en 1985. Je présenterai la preuve du théorème de Kozlov, quelques-unes de ses conséquences, et éventuellement une généralisation récente par Marco Lenci (avec un point de vue « systèmes dynamiques »).

24 octobre 2011 Jean-Baptiste Bardet (LMRS) Marches aléatoires en milieu aléatoire : le point de vue du marcheur (2e partie)

7 novembre 2011 Mylène Maïda (Université Paris-Sud) Inégalités de transport, probabilités libres et matrices aléatoires Je commencerai l'exposé par quelques rappels sur les inégalités transport-entropie classiques et leur lien étroit avec la concentration de la mesure. Après avoir défini une notion d'entropie (dite de Voiculescu) adaptée aux espaces de probabilités libres, j'expliquerai quels sont les analogues des inégalités transport-entropie dans ce contexte. Le but de l'exposé sera d'expliquer comment des résultats de matrices aléatoires permettent de montrer ce type d'inégalités et en retour comment ces inégalités peuvent nous renseigner sur le comportement de la mesure spectrale de certains ensembles de matrices aléatoires. Je m'efforcerai de n'utiliser aucun pré-requis de probabilités libres.

14 novembre 2011 Francois Simenhaus (Université Paris Dauphine) Mouvement par courbure moyenne pour le modèle d'Ising en dimension 2 et à température 0 Dans ce travail nous considérons la dynamique de Glauber associée au modèle d'Ising en dimension $2$ et à température $0$ : chaque spin est actualisé selon une horloge de Poisson en suivant la "loi de la majorité" (le spin prend la valeur "majoritaire" parmi ses $4$ voisins sur le réseau et la valeur d'une Bernoulli dans le cas de l'égalité $2+/2-$). La condition initiale est donnée par un domaine $\Lambda\subset\mathbb{R}^2$ connexe et fini où tous les spins ont valeur $-$ tandis que les spins à l'extérieur de $\Lambda$ ont valeur $+$.
Une bulle initiale de taille $L$ disparaît (i.e. tous les spins sont devenus $+$) en un temps fini d'ordre polynomial $L^2$ ([2] pour $d=2$, [1] pour $d=3$ [3] pour les dimensions supérieures). L'objectif de ce travail est de comprendre la façon dont la bulle se détruit. Dans le cas $d=2$ et d'une bulle initiale convexe, nous montrons que l'évolution suit asymptotiquement (dans un scaling diffusif) un mouvement par courbure moyenne anisotropique. Un élément de l'interface est poussé dans la direction normale intérieure avec une force proportionnelle (mais dépendant de l'angle du vecteur normal avec l'horizontale) à la courbure.
Il s'agit d'un travail en commun avec Hubert Lacoin et Fabio Lucio Toninelli.
Références
[1]P. Caputo, F. Martinelli, F. Simenhaus and F. Toninelli, Zero temperature stochastic 3D Ising model and Dimer covering fluctuation: a first step towards mean curvature motion, Comm. Pure Appl. Math. 64 (2011), 778-831.
[2]L.R. Fontes, R.H. Schonmann and V. Sidoravicius, Stretched exponential fixation in stochastic Ising models at zero temperature, Comm. Math. Phys. 228 (2002), 495-518.
[3]H. Lacoin. Approximate lifshitz law for the zero-temperature stochastic ising in any dimension, ArXiv.

21 novembre 2011 Pierre Calka (LMRS) Théorie de Palm pour les processus ponctuels et mesures aléatoires (d'après C. Palm, 1943) Le but de l'exposé est de motiver et présenter brièvement la construction de la mesure de Palm associée à un processus ponctuel stationnaire. Il s'agit en particulier de donner un sens à la loi du processus vu depuis un point de celui-ci. On étendra la définition aux mesures aléatoires et on étudiera les propriétés essentielles de la mesure de Palm (formule de Campbell, formule d'échange de Neveu...). Le propos sera illustré de quelques exemples provenant de la littérature récente en géométrie aléatoire.

Séance exceptionnelle jeudi 24 novembre 2011, 10h00-11h00 T. Setokuchi & K.Takashima (Okayama University of Sci., Japon) On discrepancies of irrational rotations based on $\log_{10} 7$ and chi square tests of leading digits of $7^n$ T. Setokuchi will present good estimates on discrepancies given by Schossengeier. In particular, he will give a clear explanation for quadratic-function-like behaviors of discrepancies of irrational rotations based on $\log_{10} 7$. K. Takashima will provide some brief explanations with respect to the periodic behavior of experimental results of empirical distribution of the leading digits of $7^n$, by using "rational rotation".

28 novembre 2011 Pierre Calka (LMRS) Théorie de Palm pour les processus ponctuels et mesures aléatoires : suite de l'exposé du 21 novembre (d'après C. Palm, 1943)

9 janvier 2012 Renaud Leplaideur (Université de Bretagne Occidentale, Brest) Quelques avancées à propos de la sélection des états fondamentaux à température zéro Pour un système dynamique $(X,T)$ et une fonction (appelée potentiel) $\phi:X\to \mathbb{R}$, on étudie la variation de l'équilibre lorsque la température décroît vers le zéro absolu. Les limites possibles sont des états fondamentaux du système. La question consiste à savoir si, d'une part il y a convergence de l'équilibre, et d'autre part, lorsqu'il y a convergence, comment la limite est "sélectionnée" parmi les multiples états fondamentaux possibles.
La première partie de l'exposé rappellera les notions nécessaires (mesures d'équilibre, mesures maximisantes) et fera un survol des résultats connus dans le domaine et des questions sous-jacentes. La seconde partie de l'exposé donnera quelques résultats récents sur la sélection.

16 janvier 2012 Adam Jakubowski (Université de Toruń, Pologne) Principle of Conditioning Revisited

23 janvier 2012 Yann Demichel (Université Paris-Ouest) Sur la décroissance des longueurs de cordes aléatoires La modélisation de milieux poreux (biphasiques) est un problème important et fréquemment rencontré en sciences appliquées, par exemple par les physiciens et les médecins. Une manière classique de modéliser de tels milieux est de considérer des champs aléatoires seuillés. En dimension 1, les intervalles successifs durant lesquels le champ reste dans une phase donnée sont appelés cordes aléatoires. Dans cet exposé, on s'intéresse à la décroissance des queues de distributions de ces cordes. Dans la littérature, différents types de décroissances ont été observés: exponentiels, polynomiaux,... mais aucune preuve de ces comportements n'a été donnée. Pour répondre à cette question, nous relions la vitesse de décroissance des longueurs des cordes à la structure de dépendance du champ aléatoire sous-jacent. Nous montrons alors que, de manière très surprenante, de nombreux champs aléatoires fournissent la même vitesse de décroissance. Des résultats plus précis sont donnés dans le contexte gaussien. Enfin, une étude statistique et numérique vient confirmer nos résultats.
Il s'agit d'un travail commun avec A. Estrade, M. Kratz et G. Samorodnitsky.

6 février 2012 Thierry Cabanal-Duvillard (Université Paris Descartes) Une relecture d'un article de Marçenko et Pastur : lois infiniment divisibles, entre indépendance et liberté Dans un article de 1967, Marçenko et Pastur ont étudié la convergence des lois spectrales de matrices aléatoires construites à partir de projecteurs indépendants, et ils en ont caractérisé les lois limites. Grâce à l'émergence de la théorie des probabilités libres dans les années 80, ces lois ont pu être identifiées comme des lois de Poisson composées libres. Après avoir rappelé les liens existants entre matrices aléatoires et probabilités libres, nous montrerons comment le résultat de Marçenko et Pastur peut s'expliquer et se redémontrer simplement avec l'aide des outils usuels des probabilités libres (cumulants et R-transformée). Cette présentation s'appuie sur des travaux réalisés en collaboration avec Florent Benaych-Georges.

13 février 2012 El Houcein El Abdalaoui (Rouen) Chacon maps 3 versus 2! L'exposé est issu d'un travail en commun avec Mariusz Lemanczyk (Torun, Polgne) et Thierry de la Rue (Rouen,France). Les deux transformations de Chacon 2 et 3 sont mises en concurrence.

20 février 2012 Florent Malrieu (Université Rennes 1) Exemples de flots modulés en dimension 2 Étant données deux matrices $A$ et $B$ de taille $2\times 2$ dont les valeurs propres sont à parties réelles strictement négatives, on s'intéresse à l'évolution obtenue en suivant alternativement les flots associés aux équations différentielles $x'=Ax$ et $x'=Bx$. Il est possible de mettre en évidence un phénomène de transition de phase entre des comportements ergodiques ou explosifs selon les paramètres du modèle.
L'exposé s'appuie sur des travaux en collaboration avec M. Benaïm, S. Le Borgne et P.-A. Zitt.

12 mars 2012 Emmanuel Roy (Université Paris 13) Suspensions de Poisson « Prime » II On reviendra sur l'exposé de mai dernier pour donner la preuve du critère assurant qu'une suspension de Poisson vérifiant certaines hypothèses simples ne possède pas de facteur non trivial. Ce sera l'occasion de présenter des outils généraux de calcul propres aux processus de Poisson (formule de Mecke notamment).

19 mars 2012 Lothar Heinrich (Université d'Augsburg, Allemagne) Central limit theorems for Poisson hyperplane processes and some remarks on Brillinger mixing point processes In the first part of the talk we consider stationary Poisson processes of $(d-1)$-dimensional hyperplanes in an expanding sampling window $\varrho\,K\,$, where $K$ is some fixed convex body in ${\mathbb R}^d$ containing the the origin as inner point. We derive two multivariate CLTs for the vector of the numbers of intersection $k$-flats $(k=0,1,...,d-1)$ hitting $\varrho\,K$ as well as for the vector of their total $k$-volumes $(k=0,1,...,d-1)$ within $\varrho\,K\,$. We briefly sketch the proofs which mainly rely on the asymptotic theory of $U$-statistics for random samples of random vectors. Due to the inherent long-range dependences of the induced (non-Poisson) processes of intersection $k$-flats (for $0 \le k\le d-2$) the variances of the components grow faster than the $d$-volume of $\varrho\,K$. We study the variance-covariance structure of the Gaussian limit vectors. In case of anisotropic hyperplane processes the asymptotic covariance matrices can be expressed in terms of the intrinsic volumes (or Minkowski functionals) of $K$ and of the zonoid associated with the directional distribution. Finally, under the isotropy assumption, we discuss the problem of minimizing the limiting variances given the mean width of $K$. For the number of 0-flat (= vertices of the corresponding hyperplane tessellation) this leads to new estimates of the $d$th-order chord power integral of $K$ which slightly strengthen some classical inequalities of W. Blaschke as well as the isoperimetric inequality.
In the second part we consider stationary infinite-order point process on ${\mathbb R}^d$ satisfying the additional assumption that, for any $k \ge 2$, the reduced $k$th-order factorial cumulant measure $\gamma_{red}^{(k)}(\cdot)$ has finite total variation $\|\gamma_{red}^{(k)}\|$ on $({\mathbb R}^d)^{k-1}\,$. This type of mixing property of point processes which is attributed to D.R. Brillinger allows to prove asymptotic normality of shot noise processes, moment estimators, empirical product densities etc. The aim of this talk is to compare Brillinger-mixing with other mixing conditions.
We prove that Brillinger-mixing implies the usual mixing of the point process provided its distribution is uniquely determined by its one-dimensional moment sequences. Further, if $\|\gamma_{red}^{(k)}\| \le c^k\,k!$ for some $c > 0$ and any $k \ge 2$, we show that the tail-$\sigma$-algebra of the point process is trivial. Further, we formulate a condition in terms of the absolute regularity coefficient which implies $\|\gamma_{red}^{(k)}\| \le \infty$ for a fixed $k \ge 2$. Finally, we give a continuum of distinct Neyman-Scott cluster processes having all the same factorial moment measures as a simple example of an indeterminate moment problem for point processes.

2 avril 2012 Raphaël Rossignol (Université Grenoble 1) Stabilité et théorème central limite pour la résistance effective sur des réseaux électriques aléatoires On étudie la décomposition d'Efron-Stein de la résistance effective point à point sur des réseaux électriques aléatoires avec résistances i.i.d. On montrera notamment qu'elle est concentrée sur les bas niveaux, ce qui implique notamment que la résistance effective est stable au bruit. Pour des graphes satisfaisant une certaine propriété d'homogénéité, on montrera en plus que la décomposition d'Efron-Stein de la résistance effective est concentrée sur les ensembles de petit diamètre. Ceci nous permettra d'obtenir un théorème central limite gaussien pour la résistance effective à travers le tore discret en dimension $d$.

14 mai 2012 Jean Bérard (Université Lyon 1) Fluctuations du front dans un modèle uni-dimensionnel de propagation d'infection Nous étudions un modèle microscopique de propagation d'infection introduit par Kesten et Sidoravicius. Dans ce modèle, des particules bleues (saines) et des particules rouges (infectées) se déplacent sur $\mathbb{Z}$ en effectuant des marches aléatoires en temps continu symétriques. La règle d'interaction est qu'une particule bleue devient rouge lors du contact avec une particule rouge. La condition initiale consiste en des nombres poissoniens i.i.d. de particules en chaque site, rouges à gauche de l'origine, et bleues à droite. Nous nous intéressons à la position aléatoire du front séparant les particules rouges des particules bleues. Pour ce modèle, Kesten et Sidoravicius ont établi (en fait pour une version générale du modèle en dimension $d$) que le front se déplace de manière ballistique. Nous prouvons un théorème de la limite centrale pour la position du front, en employant des techniques de renouvellement.

21 mai 2012 Lingmin Liao (Université Paris-Est) Analyse multifractale de moyennes ergodiques multiples Nous nous proposons d'étudier des moyennes ergodiques multiples du point de vue de l'analyse multifractale. Dans le cas du shift sur l'espace symbolique de l'alphabet $\lbrace -1,1\rbrace$ nous obtenons une formule générale pour le spectre multifractal des moyennes ergodiques multiples en utilisant les produits de Riesz. La même question devient plus compliquée pour l'espace symbolique de l'alphabet $\lbrace 0,1\rbrace$. Les développements récents sur cette question seront exposés.

4 juin 2012 Sasha Prikhod'ko (Université d'État de Moscou) On complexity of iceberg systems We investigate a class of symbolic systems and establish the lower estimate of the symbolic complexity function $p(n)$ for this class: $p(n) > n^{3-a}$ for any $a > 0$. Further, using this idea, we show that the associated ergodic maps are not rank one.

11 juin 2012 Rita Giuliano (Pise) The Almost Sure Local Limit Theorem for random sequences in the domain of attraction of a stable law (joint works with Michel Weber and Zbigniew S. Szewczak) We say that a discrete time process $(X_n)$ with partial sums $S_n:= \sum_{k=1}^n X_k$ satisfies a Local Limit Theorem (LLT) if there exist sequences $(a_n)$, $(b_n)$, with $b_n \to \infty$ such that $$b_n P(S_n = \kappa_n)\to _n g(\kappa),$$ where $g$ is some density function, whenever $$\lim_{n \to \infty}{{\kappa_n- a_n}\over{b_ n}}= \kappa.$$ We say that $(X_n)$ satisfies an Almost Sure Local Limit Theorem (ASLLT) if there exist sequences $(a_n)$, $(b_n)$, with $b_n \to \infty$ such that $$\lim_{N \to \infty}{{1}\over{\log N}}\sum_{n=1}^N {{b_n}\over{n}}1_{\{S_n = \kappa_n\}}= g(\kappa),$$ whenever $$\lim_{n \to \infty}{{\kappa_n- a_n }\over{b_n}}= \kappa.$$ In the case of an i.i.d. sequence $(X_n)$ with $E[X_1^{2+\epsilon}]\le \infty$ an ASLLT has been proved in [1] as a consequence of Gnedenko's celebrated LLT; this result has been successively improved in [2] with the sole assumption $E[X_1^{2}]\le \infty$. Sequences of this kind belong to the domain of attraction of the standard Gaussian law.
In this talk we explain some details and address the same problem in the more general case of i.i.d. random sequences belonging to the domain of attraction of a stable law. Notice that $E[X_1^{2}]= \infty$ if $\alpha \le 2$.
Joint works with M. Weber and with Zbigniew Szewczak (Torun).

References
[1] Giuliano Antonini, R. Weber, M. Almost Sure Local Limit Theorems with Rate , Stochastic Analysis and Applications, 29: 779-798, 2011.
[2] Weber, M., A sharp correlation inequality with applications to almost sure local limit theorem, Probab. Math. Statist., 31, 79-98, 2011.

18 juin 2012 Fabien Durand (Université d'Amiens) La conjecture Pisot (pour les sous-shifts substitutifs) Nous ferons un survol des résultats marquants concernant ce problème qui dit : Tout sous-shift engendré par une substitution pisot unitaire et irréductible est à spectre discret. Ce problème a pour origine le fameux article de Gérard Rauzy dans lequel il definit le fractal... de Rauzy.

18 juin 2012, 11h30 Christophe Cuny (Ecole Centrale de Paris) Le TCL quenched sous la condition de Maxwell-Woodroofe On considère une chaine de Markov $(W_n)$ admettant une probabilité invariante ergodique, notée $m$. Maxwell et Woodroofe (2000) ont montré que pour toute $f\in L^2(m)$ telle que $$\sum_{n\ge 1}\frac{ \|f+Pf+ \cdots +P^{n-1}f\|_{L^2(m)}}{n^{3/2}} < \infty \qquad (MW)$$ $(f(W_n)$ satisfait au TCL, lorsque $W_0$ suit la loi $m$. En 2005, Peligrad et Utev, ont établi le principe d'invariance faible sous $(MW)$. Plusieurs travaux ont établi le TCL (et le principe d'invariance), lorsque la chaine est issue de $x$ (choisi suivant $m$) sous des renforcements de $(MW)$. On montrera qu'en fait $(MW)$ elle-même est suffisante. Travail commun avec Florence Merlevède (UMLV).

25 juin 2012 Stéphane Le Borgne (Université de Rennes) Théorème limite central quenched pour les marches aléatoires avec un trou spectral Soit $G$ un groupe discret agissant sur une space de probabilité $(X,m)$ et $\mu$ une mesure de probabilité sur $G$. Considérons la marche aléatoire sur $X$ définie par $\mu$ de la façon suivante : la position au temps $n$ partant de $x$ est donnée par $g_n...g_1x$ et les éléments $g_k$ de $G$ sont indépendants de loi $\mu$. Cela peut aussi être vu comme un produit aléatoire de transformations de $X$.
Dans certains cas il a été montré que l'opérateur $$P_\mu f(x) = \sum_g f(g.x) \mu(g) $$ a un trou spectral. Nous montrons que sous une hypothèse de ce type le théorème limite central sous $m$ est satisfait pour presque toute suite $(g_k)_{k\geq 1}$.
Plus précisément. Soit $\mathbb{P}$ la mesure produit $\mu^{\otimes{\mathbb {N}}^*}$. Si la norme de $P_\mu \otimes P_\mu$ sur $L_0^2(X \times X, m \otimes m)$ est strictement inférieure à 1, alors, pour toute fonction $\varphi$ in $L^\infty_0(m)$, il existe $\sigma\geq 0$ tel que, pour $\mathbb{P}$ presque toute suite $(g_k)_{k\geq 1}$, on a $$ m\{x\in X\ /\ \sum_{k=1}^n\varphi(g_k\ldots g_1x)\leq \sqrt{n}t\}\rightarrow \int_{-\infty}^t\exp(- s^2/2\sigma^2) {{ds}\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}. $$ C'est un travail en collaboration avec Jean-Pierre Conze.

2 juillet 2012 Joseph Yukich (Lehigh University, Bethlehem, USA) Probabilistic Analysis of Large Geometric Structures - A Survey Fundamental questions pertaining to large, random geometric structures often involve sums of spatially dependent terms having short range interactions, but complicated long range dependence. This phenomenon arises in problems across a wide range of fields, including random geometric graphs and networks, discrete stochastic geometry, statistical mechanics, statistics of random samples, and percolation models. This talk is intended for the non-specialist and surveys recent progress in understanding the limit theory of functionals of geometric structures.

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