Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Pierre Calka et El Houcein El Abdalaoui. Les séances ont lieu le lundi, de 10h00 à 11h30 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

## Programme 2010-2011

8 novembre 2010 Sasha Prikhod'ko (Lomonosov Moscow State University) On flatness problem for Littlewood-type polynomials and exponential sums and applications to spectral theory We discuss several problems around the phenomenon of flatness for polynomials and exponential sums originated from J. Littlewood's question on existence of ultra-flat unimodular polynomial, as well as applications to spectral theory of ergodic maps and flows.
Littlewood asked the question (1966) on how close a complex polynomial $$P(z) = c_0 + c_1 z + \cdots + c_n z^n$$ can come to satisfying $$|P(z)| \simeq \sqrt{n+1}$$ for $n > 1$ if the coefficients are of the same absolute value, $|c_j| = 1$ ?
This property is called flatness, and the question on existence of ultra-flat polynomial with coefficients in $\{ -1, +1\}$ is open. It is still unknown if it is possible to find a flat polynomial with coefficients 0 and 1.
We study a class of exponential sums $$P(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{0\le j\le n-1} e^{i 2\pi t\omega(j)}$$ with a real frequency function $\omega(j)$. It is shown that for given $0 \le a \le b$ and $\varepsilon > 0$, there exist sums $P(t)$ which are $\varepsilon$-flat on $[a,b]$ according to the norm in $L^{\! 1}([a,b])$.

15 novembre 2010 Rita Giuliano (Pise) Almost sure Central and Local Limit Theorems: a unifying approach via correlation inequalities We illustrate some useful correlation inequalities and apply them in order to derive an Almost Sure Central Limit Theorem for general, possibly non-stationary, sequences of random variables and an Almost Sure Local Limit Theorem for sequences of i.i.d. random variables.

13 décembre 2010 Raphaël Lachieze-Rey (Université Lille 1) Ergodicité des mosaïques STIT Les mosaïques aléatoires forment une classe pertinente de modèles pour de nombreux phénomènes naturels, en biologie, géologie, science des matériaux. Les mosaïques STIT (STable under ITeration), introduites dans les années 2000, sont caractérisées par leur stabilité sous l'action de l'opération dite 'd'itération', ce qui leur confère un rôle privilégié pour modéliser des phénomènes de craquèlement ou de division. Après avoir présenté clairement le modèle, on en présentera ses principales caractéristiques, en établissant notamment sa propriété de mélange.

10 janvier 2011 Valery Ryzhikov (Lomonosov Moscow State University) Isomorphism of mixing rank-one flows and automorphisms It is well-known that for flows the rank is an invariant by linear change of time. And sometimes even spectra do not change. But what we can say about isomorphisms? It seems that in case of mixing this problem is the most difficult. However the known technics of self-joinings provides non-isomorphism for mixing flows of a rank 1 under linear change of time. For automorphisms there is some other problems. The staircase cutting-and-stacking construction is set by height $h$ of the first tower and sequence $r_n$ of cutting numbers. Let us consider two very similar constructions: one is set by $(h, (r_{n}))$; another is set by $(h+1, (r_{n}))$. We show how to prove non-isomorphism of these constructions. The talk will be devoted to these and other related topics.

17 janvier 2011 Fabien Durand (Université d'Amiens) Une preuve ergodique d'un théorème de combinatoire : le théorème de Cohbam. Applications aux systèmes de numération

24 janvier 2011 Sophie Laruelle (Université Paris 6) Algorithmes Stochastiques et Applications Je commencerai par un rappel des résultats de convergence dans le cadre classique, c'est-à-dire où les innovations sont supposées i.i.d. Je présenterai ensuite la convergence pour une plus grande classe d'innovations et je finirai par des applications.

31 janvier 2011 Youssef Fares (Université d'Amiens) Capacité valuative d'un sous-shift de type fini Après avoir rappelé la notion de suite caractéristique d'une partie de $\mathbb{Z}_p$, on étendra cette notion aux sous-shifts et on s'intéressera, en particulier, à sa limite asymtotique appelée capacité valuative. On donnera ensuite les propriétés de cette limite liées à la densité et à la conjugaison. Pour finir, on donnera des exemples de calcul de la capacité valuative d'un sous-shift de type fini en utilisant la formule de Johnson.

7 février 2011 Karma Dajani (Université d'Utrecht, Pays-Bas) A panorama of $\beta$-expansions: deterministic and random In this talk we will give various deterministic and random algorithms/transformations generating expansions of real number in base $\beta>1$, and digits in a given finite subset of $\mathbb{R}$. We study the existence of stationary ergodic measures, in particular measures of maximal entropy. In the random case, we prove that there is a unique measure of maximal entropy, and study its properties.

14 février 2011 Julien Randon-Furling (Université Paris 1) Autour du mouvement brownien : enveloppe convexe de chemins multiples Nous examinerons quelques résultats (périmètre moyen, aire moyenne) relatifs à l'enveloppe convexe de $n$ chemins de diffusion brownienne dans le plan, résultats obtenus par des méthodes relativement élémentaires et motivés par des considérations tant mathématiques que physiques.
Références :
1. arXiv:0912.0631 Title: Random Convex Hulls and Extreme Value Statistics, Authors: Satya N. Majumdar, Alain Comtet, Julien Randon-Furling, J. Stat. Phys, 138, 955 (2010).
2. arXiv:0907.0921 Title: Convex Hull of N Planar Brownian Motions: Exact Results and an Application to Ecology, Authors: Julien Randon-Furling, Satya N. Majumdar, Alain Comtet, Phys. Rev. Lett. 103, 140602 (2009).

21 février 2011 Yogeshwaran Dhandapani (ENS/INRIA) Percolation and directionally convex ordering of point processes. In this talk, we explain the relation between directionally convex ordering of point processes and percolation. Directionally convex ordering has been used to compare point processes with same mean intensities. We will start with a primer on directionally convex ordering of point processes and examples of point processes that are directionally convex ordered. We link directionally convex ordering to percolation as well as clustering by showing that they impact negatively the capacity functionals of their corresponding Boolean models. This is used to show ordering of some new critical radii which act as upper and lower bounds to the usual critical radius for percolation of a point process. The upper bound increases with dcx order while the lower bound decreases.
In the second part, we exploit the fact that many probabilities of additive shot-noise fields of point processes can be bounded by their Laplace transforms. This for sparse point processes (i.e, lesser than Poisson point process in dcx order) can be bounded by the corresponding Laplace transform of Poisson-driven shot-noise fields. For a nice class of functionals, one can compute the latter explicitly to ascertain non-triviality of phase transition in various percolation models. We carry out such a program for providing uniform upper and lower bounds (uniform over all sparse point processes) for the critical radius for $k$-percolation and percolation in SINR (Signal-to-Interference-Noise-Ratio) graphs.

14 mars 2011 Stéphane Goutte (LPMA, Université Paris 7) Mean-variance hedging on electricity model We consider the discretized version of a (continuous-time) two-factor model introduced by Benth and coauthors for the electricity markets. For this model, the underlying is the exponent of a sum of independent random variables. We provide and test an algorithm, which is based on the celebrated Föllmer-Schweizer decomposition for solving the mean-variance hedging problem. In particular, we establish that decomposition explicitely, for a large class of vanilla contingent claims. Interest is devoted in the choice of rebalancing dates and its impact on the hedging error, regarding the payoff regularity and the non stationarity of the log-price process.

21 mars 2011 Margherita Disertori (LMRS) Introduction aux matrices aléatoires L'étude de matrices de grande taille avec éléments aléatoires apparaît dans un grand nombre de modèles à la fois en physique et en mathématiques. Je vais faire une introduction au problème et aux différentes techniques utilisées dans ce contexte.

28 mars 2011 Florence Merlevède (Marne-la-Vallée) Inégalités de Rosenthal pour des variables dépendantes : exemples et applications Dans cet exposé, des inégalités de moments de type Rosenthal pour les moments d'ordre $p$ du maximum des sommes partielles de suites stationnaires sont présentées. Comme dans les résultats récents de Peligrad, Utev et Wu (2007) ou de Rio (2009), les estimées des moments sont exprimées en termes de conditions projectives. Les résultats incluent alors les martingales et leurs généralisations. Les preuves des résultats sont essentiellement basées sur une nouvelle inégalité maximale généralisant celle de Doob pour les martingales, et sur une induction sur les diadiques.

4 avril 2011 Mohamed Sifi (Université de Tunis) Opérateur de transmutation de Dunkl Dans cet exposé, on montrera l'existence et l'unicité d'un opérateur qui entrelace l'algèbre des opérateurs de Dunkl et celui des dérivées directionnelles usuelles. On montrera aussi que cet opérateur est positif.

Séance supplémentaire - mardi 5 avril 2011 David Neuhäuser (Université d'Ulm, Allemagne) On the distribution of typical shortest-path lengths in connected random geometric graphs Stationary point processes in $\mathbb{R}^2$ with two different types of points, say $H$ and $L$, are considered where the points are located on the edge set $G$ of a random geometric graph, which is assumed to be stationary and connected. Examples include the classical Poisson-Voronoi tessellation with bounded and convex cells, aggregate Voronoi tessellations induced by two (or more) independent Poisson processes whose cells can be non-convex, and so-called $\beta$-skeletons being subgraphs of Poisson-Delaunay triangulations. The length of the shortest path along $G$ from a point of type $H$ to its closest neighbor of type $L$ is investigated. Two different meanings of 'closeness' are considered: either with respect to the Euclidean distance (e-closeness), or in a graph-theoretic sense, i.e., along the edges of $G$ (g-closeness). For both scenarios, comparability and monotonicity properties of the corresponding typical shortest-path lengths $C^{e*}$ and $C^{g*}$ are analyzed. Furthermore, extending the results which have recently been derived for $C^{e*}$, we show that the distribution of $C^{g*}$ converges to simple parametric limit distributions if the edge set $G$ becomes unboundedly sparse or dense, i.e., a scaling factor $\kappa$ converges to zero and infinity, respectively.

11 avril 2011 Cristina Di Girolami (ENSTA/Università LUISS, Rome) Calcul stochastique via régularisation en dimension infinie avec perspectives financières Cet exposé développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus à valeurs dans un espace de Banach $B$ général. Il introduit un concept original de variation quadratique, qui dépend d'un sous-espace du dual du produit tensoriel de $B$ avec lui même muni de la topologie projective. Une classe de résultats de stabilité de classe $C^1$ pour des processus ayant ce type de variation quadratique est établie ainsi que une formule d'Itô pour de tels processus. Une attention particulière est dévouée au cas où $B$ est l'espace des fonctions continues sur l'intervalle $[-T,0]$, $T>0$ et le processus considéré est la fenêtre $X(\cdot)$ associée à un processus réel continu $X$, qui pour chaque $t$ considère le passé du processus $X$ jusqu'à $t-T$. L'espace naturel d'évolution pour un processus fenêtre $X(\cdot)$ est l'espace de Banach $B$ des fonctions continues définies sur $[-T,0]$. Si $X$ est un processus à variation quadratique finie (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet) et $h$ est une variable aléatoire définie par une fonctionnelle de toute la trajectoire de $X$, il est possible de représenter $h$ comme un nombre réel plus une intégrale progressive. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire $h$ sera lié strictement à une fonction qui en général est une solution d'une equation aux derivées partielles en dimension infinie. A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque $X$ est un mouvement brownien standard $W$. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options path-dependent lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

9 mai 2011 Margherita Disertori (LMRS) Introduction aux matrices aléatoires, 2e partie

23 mai 2011 Emmanuel Roy (LAGA, Université Paris 13) Suspensions de Poisson « Prime » On donnera un critère général pour qu'une Suspension de Poisson soit « prime » (i.e. ne possède aucun facteur non-trivial). On montrera ensuite que des suspensions de Poisson au dessus de certaines rotations ergodiques sur des groupes compacts munis d'une mesure invariante infinie vérifient ce critère. Enfin, on comparera ces suspensions de Poisson « prime » aux autres systèmes « prime » connus à ce jour.

30 mai 2011 Anthony Quas (University of Victoria, Canada) Multiplicative ergodic theorems: matrices and oceans Starting from the properties of finite Markov chains, we discuss the theory of products of different matrices. This theory has found applications in probability, differentiable dynamical systems and other fields. We address rates of mixing in Markov chains and apply ideas and techniques from this to rates of mixing in dynamical systems, including a recent application to understanding (lack of) mixing in oceans.

Mardi 14 juin 2011 Wilfrid Gangbo (Georgia Tech, USA) Les treillis de Michell Nous utilisons fortement la théorie de la mesure pour attaquer un problème du calcul des variations. Soit un système de forces en équilibre avec ses points d'applications dans un ensemble compact. Nous étudions une version vectorielle du problème de Monge-Kantorovich appelée le problème des treillis de Michell. Le problème dual consiste à maximer le travail total produit par des déplacements satisfaisant certaines contraintes. Nous introduisons une classe de tenseurs qui s'obtiennent par superposition de tenseurs de rang 1 portés par un reseau de courbes mutuellement orthogonales. Nous présentons quelques exemples qui illustrent la difficulté du problème. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec G. Bouchitté et P. Seppecher.