Le groupe de travail Probabilités, Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques est organisé par Thierry de la Rue. Sauf précision contraire, les séances ont lieu le lundi, de 11h à 12h dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme 2016-2017

Prochaines séances

15 mai 2017 Christophe Leuridan (Institut Fourier, Université de Grenoble) Complémentabilité et maximalité, en théorie ergodique et en théorie des filtrations Ornstein et Weiss ont introduit en 1970 des notions de complémentabilité (existence d'un complément indépendant) et de maximalité pour les facteurs d'un automorphisme d'un espace mesuré. Nous présentons des notions analogues pour les filtrations browniennes et pour les filtrations poly-adiques indexées par les entiers négatifs, c'est-à-dire les filtrations pour lesquelles à chaque instant, l'accroissement d'information peut être codé par une variable aléatoire indépendante du passé et de loi uniforme sur un ensemble fini.

22 mai 2017 Mahesh Nerurkar (Rutgers University) Regional Proximality in Topological Dynamics Using methods of Topological Dynamics, we study the family of Birkhoff sets, (i.e. sets of `topological recurrence') for a certain subclass of amenable acting groups. Applications to results in additive combinatorics such as the properties of `difference sets', (in particular difference of syndetic sets), will be considered.


Exposés passés

7 novembre 2016 Adam Jakubowski (Université Nicolas Copernic, Toruń, Pologne) Phantom distribution functions for stationary processes with extremal index zero. A stationary sequence $\{X_j\}$ of random variables with partial maxima \[ M_n = \max_{1 \leq j \leq n} X_j\] and the marginal distribution function $F(x) = P( X_1 \leq x)$ is said to admit a phantom distribution function (phdf) $G$ (a notion due to O'Brien [5]) if \[ \sup_{u\in R} \big| P( M_n \leq u) - G^n(u) \big|\to 0, \text{ as $n\to\infty$}. \] If $G(x) = F^{\theta}(x)$ for some $\theta \in (0,1]$ then $\{X_j\}$ is said to have the extremal index $\theta$ (in the sense of Leadbetter [4].
Following [4] we say that $\{X_j\}$ has the extremal index $\theta = 0$ if \[ P\big( M_n \leq u_n(\tau)\big) \to 1 \] whenever $\{u_n(\tau)\}$ is such that \[ n (1-F(u_n(\tau)) \to \tau \in (0,+\infty). \] This means that the partial maxima $M_n$ increase much slower comparing with the independent case and that information on $F$ alone cannot determine the limit behavior of laws of $M_n$.
Developing the ideas of [3] we show in [2] that the existence of a continuous phdf is a quite common phenomenon for stationary weakly dependent sequences. For example, any $\alpha$-mixing stationary sequence with continuous marginals admits a continuous phdf.
In particular we show that the natural models considered in Asmussen [1] and Roberts et al. [6], which both have the extremal index $\theta = 0$ admit continuous phdfs.
We provide also an example of a stationary non-ergodic sequence which still admits a continuous phdf.
This is a joint with Paul Doukhan and Gabriel Lang.
References
[1] Asmussen, S.: Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behavior, stationary distributions and first passage probabilities. Ann. Appl. Probab. 8, 354-374 (1998).
[2] Doukhan, P., Jakubowski, A. and Lang, G., Phantom distribution functions for some stationary sequences. {\em Extremes}, { 18 (2015), 697-725.
[3] Jakubowski, A.: An asymptotic independent representation in limit theorems for maxima of nonstationary random sequences. Ann. Probab. 21, 819-830 (1993)
[4] Leadbetter, M. R.: Extremes and local dependence in stationary sequences. Z. Wahr. verw. Gebiete. 65, 291-306 (1983)
[5] O'Brien, G. L., Extreme values for stationary and Markov sequences. {\em Ann. Probab.} {\bf 15 (1987)}, 281-292.
[6] Roberts, G. O., Rosenthal, J.S., Segers, J., Sousa, B.: Extremal indices, geometric ergodicity of Markov chains and MCMC. Extremes. 9, 213-229 (2006).

14 novembre 2016 Pierre Youssef (Université Paris Diderot) Enveloppe convexe du mouvement Brownien et théorème «d'escape» de Gordon Étant donnée une marche aléatoire à temps discret dans $\mathbb{R}^n$, on s'intéresse au nombre de pas nécessaire pour garantir que l'origine appartienne à l'enveloppe convexe du chemin traversé. On se concentrera dans cet exposé sur une discrétisation du mouvement Brownien et on montrera comment résoudre le problème en étudiant certains aspects géométriques des matrices aléatoires.

21 novembre 2016 Marion Sciauveau (CERMICS, ENPC) Fonctionnelles de coût sur des arbres aléatoires Les arbres apparaissent naturellement dans de nombreux domaines tels que l'informatique pour le stockage de données, ou encore la biologie pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux limites de fonctionnelles additives de grands arbres aléatoires. Nous étudierons le cas des arbres binaires sous le modèle de Catalan (arbres aléatoires choisis uniformément parmi les arbres binaires enracinés complets ordonnés avec un nombre de nœuds donné) et les arbres simplement générés. On obtiendra un principe d'invariance pour ces fonctionnelles ainsi que les fluctuations associées. Dans le cas binaire, la preuve repose sur le lien entre les arbres binaires et l'excursion brownienne normalisée (voir Aldous [1]). Cela nous permettra de retrouver les résultats avancés par Fill et Kapur [2] et Fill et Janson [3].
Références :
[1] : D. Aldous. The continuum random tree. III. (1993)
[2] : J.A. Fill and N. Kapur. Limiting distributions for additive functionals on Catalan trees (2004)
[3] : J.A. Fill and S. Janson. Precise logarithmics for the right tails of some limit random variables for random trees (2009)

jeudi 1er décembre 2016, 10h15-11h15 Zemer Kosloff (Hebrew University of Jerusalem) Young towers and uniform statistical properties Let $T_a$, $a\in A$, be a family of nonuniformly hyperbolic transformations with invariant measures $\mu_a$. We prove statistical limit laws for sequences of type $$\sum_{j=0}^{n-1} v\circ T_{a_n}^j.$$ A key ingredient is a new martingale-coboundary decomposition, which is useful already when the family $T_a$ is replaced by a fixed transformation $T$, and is particularly effective when $T_a$ varies with $a$.
Our results include cases where the family $T_a$ consists of intermittent maps, unimodal maps (along the Collet-Eckmann parameters), Viana maps, and externally forced dispersing billiards.
This is a joint work with Alexey Korepanov and Ian Melbourne (Warwick).

9 janvier 2017 Pierre Monmarché (CERMICS, ENPC) Échantillonnage déterministe par morceaux Étant donnée une mesure de probabilité cible $\mu$, une méthode MCMC consiste à simuler un processus de Markov $X$ de mesure invariante $\mu$ et à approximer les intégrales sous la loi $\mu$ par des moyennes ergodiques le long de la trajectoire de $X$. Il existe toute une zoologie de tels processus de Markov pour une même loi $\mu$, et la question du choix de la dynamique n'est pas évidente, le but étant in fine que l'approximation soit le plus vite possible la meilleure possible. On présentera ici un processus obtenu comme limite d'échelle d'une chaîne de Makov d'ordre 2, à la fois cinétique et déterministe par morceaux, et on étudiera notamment son comportement à basse température, c'est-à-dire lorsque $\mu$ a pour densité $\exp\left(-U(x)/T\right)$ avec un potentiel $U$ multi-modal et $T \to 0$.

6 février 2017 Arnaud Le Ny (LAMA, Université Paris Est) Marches aléatoires persistentes Nous considérons la trajectoire aléatoire d'un marcheur en dimension 1, qui le long d'une même ligne garde la même direction avec une probabilité dépendant du temps déjà passé dans cette direction (haut ou bas). Cette marche aléatoire non markovienne est alors dite persistente, et peut être vue comme une extension d'un modèle de marches directionnellement renforcées introduites par Malduin et al. en 1996. Nous donnerons une caractérisation complète de la transience ou de la récurrence en termes des probabilités de changement de cap et notamment de la loi de temps dits de "persistence" (dans une direction). Nous insisterons sur la situation la plus riche qui émerge lorsque ces temps de persistence sont tous deux non-intégrables, où les questions de récurrence vs. transience sont liées aux propriétés des queues de distribution de ces temps aléatoires.
Travail Commun avec P. Cénac, B. De Loynes et Y. Offret.

Séance exceptionnelle : jeudi 16 février 2017 Anatoly Vershik (St-Petersburg University) Dynamics related to graded graphs and AF-algebra

6 mars 2017 Nicolas Marie (ESME Sudria Paris - Modal'X) Sur la contrainte des solutions d’EDS dirigées par le mouvement brownien fractionnaire (MBF) En désignant par $C$ une partie de l’espace, éventuellement mobile, nous nous intéresserons à différentes façons d’assurer que la solution $X$ d’une EDS dirigée par le MBF soit à valeurs dans $C$. L’équation sera prise au sens des trajectoires rugueuses introduites par T. Lyons en 1998. Nous verrons que les méthodes classiquement employées dans le contexte du calcul d’Ito pour le mouvement brownien s’étendent au cas du MBF : singularités du champs de vecteurs, condition de viabilité, réflexion, etc. Quelques applications en biologie et en finance seront évoquées. Enfin, la dernière partie de l’exposé portera sur un travail en cours, en collaboration avec C. Castaing et P. Raynaud de Fitte, sur les processus de rafle perturbés par un signal rugueux.

13 mars 2017 Christopher Hoffman (University of Washington, Seattle, USA) Geodesics in First-Passage Percolation First-passage percolation is a classical random growth model which comes from statistical physics. We will discuss recent results about the relationship between the limiting shape in first passage percolation and the structure of the infinite geodesics. This incudes a solution to the midpoint problem of Benjamini, Kalai and Schramm. This is joint work with Gerandy Brito and Daniel Ahlberg.

20 mars 2017 Davide Giraudo (LMRS, Rouen) Conditions d'intégrabilité du cobord et de la fonction de transfert pour les théorèmes limites Depuis le travail de Gordin (1969), une méthode pour démontrer le théorème limite central pour des suites strictement stationnaires $\left(f\circ T^i\right)_{i\geqslant 0}$ consiste à chercher une décomposition «martingale-cobord», au sens où $f=m+g-g\circ T$ avec $\left(m\circ T^i\right)_{i\geqslant 0}$ une suite d'accroissements d'une martingale. Si $m$ est de carré intégrable, alors le théorème limite central a lieu. En revanche, pour d'autres théorèmes limites tels que le principe d'invariance, la loi des logarithmes itérés ou des grands nombres, le cobord $g-g\circ T$ peut poser problème. Volný et Samek (2000) ont donné des conditions suffisantes sur $g$ et $g-g\circ T$ pour que les deux premiers théorèmes limites restent valides. Dans un article récent, nous raffinons ces conditions et traitons la loi des grands nombres. Nous donnerons également une application aux décalages de Bernoulli.

27 mars 2017 11h30-12h30 Pierre Calka (LMRS, Rouen) Probabilités géométriques Les probabilités géométriques portent sur l'étude de figure géométriques, en général euclidiennes, qui ont été générées aléatoirement. Ce domaine des mathématiques est apparu au 18ème siècle et a connu un essor récent, notamment en lien avec la conception et l'analyse d'algorithmes géométriques.
Dans cet exposé, nous proposerons une introduction générale à quelques modèles et méthodes classiques en probabilités géométriques. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'étude asymptotique d'enveloppes convexes aléatoires et à certaines propriétés des mosaïques aléatoires, en particulier de type Poisson-Voronoi.


Années précédentes : 2015-2016, 2014-2015, 2013-2014, 2012-2013, 2011-2012, 2010-2011.