Une sélection d'exercices de mathématiques

Pour les mathématiciens insomniaques, voici une petite sélection d'exercices mathématiques. Je les ai choisis parce que leur énoncé m'amuse, ou parce que leur résolution est intéressante, voire pour les deux raisons à la fois. Le nombre d'étoiles représente mon point de vue sur la difficulté de chaque exercice. Merci de me dire si vous touvez des solutions élémentaires aux exercices 3 étoiles... Et si vous connaissez d'autres énoncés dans le même style, merci de me les envoyer pour compléter ma collection.

Nouveau ! Certains exercices ont maintenant une solution...

 

Des lettres et des nombres **

À chacune des 26 lettres de l'alphabet, on associe un nombre entier de la forme $2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}$. Prouver que l'on peut trouver 4 lettres telles que le produit des 4 nombres qui leur sont associés soit une puissance quatrième.

 

Le triangle glissant **

On découpe un triangle en morceaux polygonaux. Puis, en translatant indépendamment chacun de ces morceaux, on reconstitue un nouveau triangle. Prouver que le nouveau triangle est un translaté du premier.

Remarquer que le résultat ne vaut pas pour les rectangles, comme le montre la figure ci-dessous.

Le rectangle qui devient carré
 

C'est parti pour un tour ! *

Un certain nombre de stations essence sont disposées le long d'une route circulaire. La quantité totale de carburant disponible dans l'ensemble des stations permet tout juste de rouler le kilométrage nécessaire pour faire le tour complet. Montrer qu'il est toujours possible, en choisissant bien sa station de départ, de parcourir un tour complet même avec un réservoir initialement vide. (La capacité du réservoir est supposée ne pas être une limitation.)

 

Les 1001 nombres *

On donne 1001 nombres entiers distincts entre 1 et 2000. Prouver que parmi eux, on peut toujours trouver deux entiers $m$ et $n$ tels que $m$ divise $n$.

 

Faces d'un polyèdre convexe *

Prouver que sur un polyèdre convexe on peut toujours trouver au moins deux faces qui possèdent le même nombre de sommets.

 

Les douzaines d'«e» *

Prouver que dans tout journal comportant au moins 12 pages, il est possible de trouver une suite de pages consécutives sur laquelle le nombre total d'occurrences de la lettre «e» est divisible par 12.

 

Les nombres sortis du chapeau **

Un chapeau contient deux nombres réels distincts que vous ne connaissez pas. Vous tirez au hasard l'un des deux nombres et en prenez connaissance. Vous devez alors deviner si le nombre restant dans le chapeau est plus petit ou plus grand que celui que vous avez tiré. Trouver une stratégie qui vous permet de donner la bonne réponse avec une probabilité strictement supérieure à 1/2.

 

Les paquets dans le métro de Moscou **

Dans le métro de Moscou, l'encombrement des paquets autorisés est limité par une constante fixée par l'administration, où l'encombrement d'un paquet est défini comme la somme de ses trois dimensions : hauteur + longueur + largeur (un paquet est toujours un parallélépipède rectangle). Est-il possible de tricher, c'est-à-dire de camoufler un paquet non autorisé dans un paquet autorisé ?

 

La vie sexuelle des punaises **

Les punaises sont des animaux ponctuels qui vivent dans le plan. Il y a des punaises mâles et des punaises femelles. Un accouplement entre un mâle situé en un point $M$ et une femelle située en un point $F$ consiste simplement à tracer le segment $[FM]$, et cet accouplement ne peut avoir lieu que sous la condition d'intimité suivante : aucun segment tracé par un autre accouplement ne doit croiser le segment $[FM]$.

On donne une population de 5 millions de punaises femelles et 5 millions de punaises mâles, en «position générale» (jamais plus de 2 punaises sur une même droite). Prouver qu'il est possible de réaliser 5 millions d'accouplements simultanément !

[Solution]

 

Et la lumière fut **

On dispose de 100 lampes commandées par 100 interrupteurs, le basculement de chaque interrupteur pouvant changer l'état d'une ou plusieurs lampes. On suppose les lampes et les interrupteurs numérotés de telle façon que

  • l'interrupteur $i$ commande toujours la lampe $i$ ;
  • si l'interrupteur $i$ commande la lampe $j$, alors l'interrupteur $j$ commande la lampe $i$.

Au départ, toutes les lampes sont éteintes. Montrer qu'il est possible de toutes les allumer simultanément.

 

C'est pas de la tarte ! ***

Cet énoncé présente l'un des résultats les plus surprenants que je connaisse...

Une pelle à tarte permet de découper des parts mesurant un angle $\alpha$ fixé. On s'amuse à appliquer à une tarte aux fraises l'opération suivante :

  1. on découpe la part de tarte placée devant soi ;
  2. on la retourne ;
  3. on tourne le plateau qui porte la tarte d'un angle $\beta$ fixé, puis on recommence.

Prouver qu'après un nombre fini d'étapes, toutes les fraises se retrouvent sur le dessus et à leur position initiale sur le plateau.

Tarte aux fraises

[Solution]

 

Exercice vache ***

Un paysan possède un troupeau de 25 vaches, et il a remarqué la propriété suivante : quelle que soit la vache qu'il retire, il peut partager les 24 vaches qui restent en 3 sous-troupeaux de 8 vaches, tous les trois de même poids total. Prouver que toutes ses vaches ont le même poids.

La vache

[Solution]