URA 1378 Publication 9503
Auteur : ALVAREZ Olivier, LASRY Jean-Michel et LIONS Pierre-Louis

Titre : Convex viscosity solutions and state constraints.

Année : 1995

Référence : soumis

Mots-clefs : convexity, partial convexity, convex envelope, conjugate function, elliptic equation, fully nonlinear equation, viscosity solution, state constraints boundary condition

Classification AMS : 26B25, 35J60, 35J65, 35B99, 49L25

Résumé :
On établit la convexité de solutions de viscosité d'équations elliptiques du second ordre, complètement non linéaires, avec contraintes d'état au bord. Notre méthode repose sur le principe de comparaison et sur l'observation que, sous des hypothèses convenables, l'enveloppe convexe d'une solution est une sursolution. Cette dernière propriété utilise une caractérisation du sous différentiel d'ordre deux (au sens de la théorie des solutions de viscosité) de l'enveloppe convexe d'une fonction coercive, semicontinue inférieurement. Des questions connexes sont traitées, comme la convexité partielle de solutions ou l'équation que doit vérifier la conjuguée d'une fonction convexe.

Abstract :
We establish the convexity of a viscosity solution of some general second order fully nonlinear elliptic equation with state constraints boundary conditions. Our method combines a comparison principle with the observation that, under suitable assumptions, the convex envelope of the solution is a supersolution. This property relies on the characterization of the viscosity subjet of the convex envelope of a lower semicontinuous coercive function. The equation solved by the conjugate of a convex solution as well as partial convexity are topics we also discuss.

Format : PostScript, A4, 20 pages.

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