UMR CNRS 6085 Publication 0404
Auteurs : Serguei Pergamenchtchikov, Omar Zeitouny

Title : Ruin probability in presence of risky investment.

Titre :

Année : 2004

Référence : Preprint.

Key-words : risk process, geometric Brownian motion, ruin probabilities

Mots-clefs :

Classification AMS 2000 : 62P05, 60J25

Résumé :
Nous considérons une compagnie d'assurances dans le cas où le taux d'intérêt est une fonction bornée non-négative quelconque et le capital de compagnie d'assurances est investi dans un actif risqué dont le prix suit un mouvement Brownien géométrique avec une rémunération moyenne $a$ et une volatilité $\sigma$.
Si $\beta:=2a/\sigma^2-1>0$ nous trouvons des bornes supérieure et inférieure asymptotiques exactes pour la probabilité de ruine $\Psi(u)$ quand la dotation initiale $u$ tend vers l'infini, c'est-à-dire, nous montrons que $C_*u^{-\beta}\le\Psi(u)\le C^*u^{-\beta}$ pour $u$ suffisamment grand. De plus si $c_t=c^*e^{\gamma t}$ avec $\gamma\le 0$ nous trouvons l'asymptotique exacte de la probabilité de ruine, à savoir $\Psi(u)\sim u^{-\beta}$. Si $\beta\le 0$, nous montrons que $\Psi(u)=1$ pour tout $u\ge 0$.

Abstract :
We consider an insurance company in the case where the premium rate is some bounded nonnegative random function $c_t$ and the capital of the insurance company is invested in a risky asset whose price follows a geometric Brownian motion with mean return $a$ and volatility $\sigma>0$. If $\beta:=2a/\sigma^2-1>0$ we find exact asymptotic upper and lower bounds for the ruin probability $\Psi(u)$ as the initial endowment $u$ tends to infinity, i.e. we show that $C_*u^{-\beta}\le\Psi(u)\le C^*u^{-\beta}$ for sufficiently large $u$. Moreover if $c_t=c^*e^{\gamma t}$ with $\gamma\le 0$ we find the exact asymptotics of the ruin probability, namely $\Psi(u)\sim u^{-\beta}$. If $\beta\le 0$, we show that $\Psi(u)=1$ for any $u\ge 0$.

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