UMR CNRS 6085 Publication 0402
Auteurs : Mohamed EL MACHKOURI et Dalibor VOLNÝ

Title : On the central and local limit theorem for martingale difference sequences.

Titre :

Année : 2004

Référence : À paraître dans Stochastics and Dynamics.

Key-words : central limit theorem, local limit theorem, martingale difference sequence, mixing, rate of convergence, measure-preserving transformation.

Mots-clefs : théorème limite central, théorème limite local, suite d'accroissements d'une martingale, mélange, vitesse de convergence, automorphisme préservant la mesure.

Classification AMS 2000 : 60F99, 28D05

Résumé :
Soit $(\Omega, {\cal A}, \mu)$ un espace de Lebesgue et $T:\Omega\to \Omega$ un automorphisme ergodique d'entropie strictement positive et préservant la mesure. On montre qu'il existe une suite strictement stationnaire d'accroissements bornés d'une martingale à valeurs dans un réseau qui satisfait le théorème limite central avec une vitesse arbitrairement lente et qui ne satisfait pas le théorème limite local. Un résultat similaire est établi pour les suites d'accroissements d'une martingale ayant une densité pourvu que l'entropie soit infinie. Enfin, la suite d'accroissements d'une martingale peut être choisie fortement mélangeante.

Abstract :
Let $(\Omega,{\cal A},\mu)$ be a Lebesgue space and $T:\Omega\to\Omega$ an ergodic measure preserving automorphism with positive entropy. We show that there is a bounded and strictly stationary martingale difference sequence defined on $\Omega$ with a common non-degenerate lattice distribution satisfying the central limit theorem with an arbitrarily slow rate of convergence and not satisfying the local limit theorem. A similar result is established for martingale difference sequences with densities provided the entropy is infinite. In addition, the martingale difference sequence may be chosen to be strongly mixing.

Pour obtenir le fichier pub0402.ps.gz.