UMR CNRS 6085 Publication 0310
Auteurs : Olivier Guibé et Anna Mercaldo

Title : Existence of renormalized solutions to nonlinear elliptic equations with two lower order terms and measure data.

Titre : Existence de solutions renormalisées de problèmes elliptiques non linéaires avec deux termes d'ordre inférieur et donnée mesure.

Année : 2003

Référence : soumis.

Key-words : Existence, nonlinear elliptic equations, noncoercive problems, measures data.

Mots-clefs : Existence, équations elliptiques non linéaires, problèmes non coercifs, données mesures.

Classification AMS 2000 : 35J60 (35A35 35J25 35R10)

Abstract :
In this paper we prove the existence of a renormalized solution to a class of nonlinear elliptic problems whose prototype is

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}\null & - \bigtriangleup _p u -\hbox{div }(...
...in}   \Omega,\  \null & u=0 & \hbox{on}   \partial\Omega, \end{aligned}\right.$

where $ \Omega $ is a bounded open subset of $ {\mathop{\rm I\kern -,057cm R}}^N$, $ N\geq 2$, $ \bigtriangleup _p$ is the so called $ p-$Laplace operator, $ 1< p< N$, $ \mu$ is a Radon measure with bounded variation on $ \Omega $, $ 0\le\gamma\le p-1$, $ 0\le\lambda\le p-1$, $ \vert c\vert$ and $ b$ belong to the Lorentz spaces $ L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega) $, $ \frac{N}{p-1}\leq r \leq +\infty$ and $ L^{N,1}(\Omega)$ respectively. In particular we prove the existence under the assumption that $ \gamma=\lambda=p-1$, $ \vert c\vert$ belongs to the Lorentz space $ L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega) $, $ \frac{N}{p-1}\leq r<+\infty$ and $ \Vert c\Vert _{
L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega)}$ is small enough.


Résumé :
Nous démontrons l'existence d'une solution renormalisée pour une classe de problèmes elliptiques non linéaires dont le modèle est

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}\null & - \bigtriangleup _p u -\hbox{div}(c...
...s}   \Omega,\  \null & u=0 & \hbox{sur}   \partial\Omega, \end{aligned}\right.$

$ \Omega $ est un ouvert borné de $ {\mathop{\rm I\kern -,057cm R}}^N$, $ N\geq 2$, $ \Delta_p$ désigne le $ p$-Laplacien, $ 1< p< N$, $ \mu$ est une mesure de Radon à variation bornée sur $ \Omega $, $ 0\leq \gamma\le p-1$, $ 0\le\lambda\le p-1$, et où $ \vert c\vert$ et $ b$ appartiennent respectivement aux espaces de Lorentz $ L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega) $, $ \frac{N}{p-1}\leq r \leq +\infty$ et $ L^{N,1}(\Omega)$. Nous donnons en particulier un résultat d'existence quand $ \gamma=\lambda=p-1$, $ \vert c\vert$ appartient à l'espace de Lorentz $ L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega) $ avec $ \frac{N}{p-1}\leq r<+\infty$ et $ \Vert c\Vert _{
L^{\frac{N}{p-1},r}(\Omega)}$ est petit.


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