UMR CNRS 6085 Publication 0308

Auteurs : O. HRYNIV et Y. VELENIK

Title : Universality of Critical Behaviour in a Class of Recurrent Random Walks.

Titre : Universalité du comportement critique dans une classe de marches aléatoires récurrentes.

Année : 2003

Référence : soumis

Mots-clefs : marches aléatoires, comportement critique, universalité, modèles effectifs d'interface, prémouillage critique.

Key-words : random walks, critical behaviour, universality, effective interface models, critical prewetting.

Classification AMS 2000: 60K35, 82B27, 82B24, 60G50

Résumé :
Soit X0=0, X1, X2, ..., une marche aléatoire apériodique générée par une suite x1, x2, ..., de variables aléatoires i.i.d. à valeurs entières avec distribution p( . ) de moyenne 0 et variance finie. Étant donné une trajectoire de N pas X = (X0, X1, ..., XN) et une fonction convexe monotone V: R+ -> R+ avec V(0)=0, on définit V(X)= V(|X1|) + ... + V(|XN-1|). Soit aussi IN,+a,b l'ensemble de toutes les trajectoires non négatives X compatibles avec les conditions au bord X0=a, XN=b. Nous analysons les propriétés asymptotiques de X dans IN,+a,b par rapport à la distribution de probabilité
PNa,b(X)= (ZNa,b)-1 exp{-lambda V(X)} p(X1-X0) p(X2-X1) ... p(XN-XN-1)
lorsque N -> infini et lambda -> 0, ZNa,b étant la normalisation correspondante. Si V( . ) ne croît pas plus vite que polynomialement à l'infini, on définit H(lambda) comme étant l'unique solution de l'équation lambda H2 V(H) = 1. Notre résultat principal est que, lorsque lambda -> 0, la hauteur typique de X[alpha N] se comporte comme H(lambda) et les corrélations le long de X décroissent exponentiellement, sur une distance typique d'ordre H(lambda)2. En utilisant un coarse-graining approprié, nous montrons aussi que les queues de la distribution de la hauteur renormalisée par H(lambda) décroît exponentiellement avec un exposant critique égal à 3/2. Dans le cas particulier d'un potentiel V( . ) linéaire, H(lambda) est proportionnel à lambda-1/3 lorsque lambda -> 0.

Abstract :
Let X0=0, X1, X2, ..., be an aperiodic random walk generated by a sequence x1, x2, ..., of i.i.d. integer-valued random variables with common distribution p( . ) having zero mean and finite variance. For an N-step trajectory X = (X0, X1, ..., XN) and a monotone convex function V: R+ -> R+ with V(0)=0, define V(X)= V(|X1|) + ... + V(|XN-1|). Further, let IN,+a,b be the set of all non-negative paths X compatible with the boundary conditions X0=a, XN=b. We discuss asymptotic properties of X in IN,+a,b w.r.t. the probability distribution
PNa,b(X)= (ZNa,b)-1 exp{-lambda V(X)} p(X1-X0) p(X2-X1) ... p(XN-XN-1)
as N -> infinity and lambda -> 0, ZNa,b being the corresponding normalization. If V( . ) grows not faster than polynomially at infinity, define H(lambda) to be the unique solution to the equation lambda H2 V(H) = 1. Our main result reads that as lambda -> 0, the typical height of X[alpha N] scales as H(lambda) and the correlations along X decay exponentially on the scale H(lambda)2. Using a suitable blocking argument, we show that the distribution tails of the rescaled height decay exponentially with critical exponent 3/2. In the particular case of linear potential V( . ), the characteristic length H(lambda) is proportional to lambda-1/3 as lambda -> 0.

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