UMR CNRS 6085 Publication 0305

Auteurs : Mustapha Mourragui, Enza Orlandi et Ellen Saada

Title : Macroscopic evolution of particle systems with random field Kac interactions.

Titre : Evolution macroscopique de systèmes de particules soumis à une interaction de type Kac en champ aléatoire.

Année : 2003

Référence : soumis

Mots-clefs : dynamique de Kawasaki, environnement aléatoire, potentiel de Kac, système non-gradient.

Key-words : Kawasaki dynamics, random environment, Kac potential, nongradient system.

Classification AMS 2000: 60K35, 82C22

Résumé :
Nous considérons un gaz de réseau en interaction via un potentiel de Kac $J_\gamma (|x-y|)$ de portée $\gamma^{-1}$, $\gamma > 0$, $x, y \in \Z^d$, qui est également soumis à un champ extérieur aléatoire défini par des variables aléatoires indépendantes bornées, de loi invariante par translation. Nous étudions l'évolution du système lorsqu'il obéit à une dynamique conservative, à savoir: les particules sautent sur les sites voisins si ceux-ci sont vides, avec des taux qui satisfont une condition de bilan détaillé par rapport à la mesure d'équilibre. Nous démontrons qu'après un changement d'échelle en espace de $\gamma^{-1}$, en temps de $\gamma^{-2}$, après un passage à la limite $\gamma \to 0$, en dimension $d \ge 3$, le profil de densité macroscopique $\rho$ vérifie, presque surement par rapport au champ aléatoire, une équation intégro-différentielle non linéaire, avec une matrice de diffusion déterminée par les propriétés statistiques du champ extérieur aléatoire. Le résultat est valide pour toutes les valeurs de la densité, également en présence de ségrégation de phase, et l'équation concerne le gradient du flux pour la fonctionnelle d'énergie.

Abstract :
We consider a lattice gas interacting via a Kac interaction $J_\gamma (|x-y|)$ of range $\gamma^{-1}$, $\gamma > 0$, $x, y \in \Z^d$ and under the influence of an external random field given by independent bounded random variables with a translation invariant distribution. We study the evolution of the system through a conservative dynamics, i.e. particles jump to nearest neighbor empty sites, with rates satisfying a detailed balance condition with respect to the equilibrium measure. We prove that rescaling space as $\gamma^{-1}$ and time as $\gamma^{-2}$, in the limit $\gamma \to 0$, for dimension $d \ge 3$, the macroscopic density profile $\rho$ satisfies, a.s. with respect to the random field, a nonlinear integral differential equation, with a diffusion matrix determined by the statistical properties of the external random field. The result holds for all values of the density, also in the presence of phase segregation, and the equation is in the form of the flux gradient for the energy functional.

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