UMR CNRS 6085 Publication 0304

Auteurs : Elise JANVRESSE et Thierry de la RUE

Title : From Uniform Distribution to Benford's Law.

Titre : De la distribution uniforme à la loi de Benford.

Année : 2003

Référence : soumis

Mots-clefs : loi de Benford, mantisse, méthode de couplage, loi uniforme, premier chiffre significatif.

Key-words : Benford's Law, significant-digit law, mantissa, first-digit law, uniform law, coupling method.

Classification AMS 2000: 60J10, 11K99

Résumé :
On définit la mantisse (en base 10) d'un nombre réel positif x comme l'unique réel M(x) Î [1,10[ tel que x = M(x) . 10k, pour un entier k de Z.
La loi de Benford dit que la proportion de nombres x > 0 tels que M(x) Î [a,b[ est, pour tout 1 £ a < b £ 10,
P ( M(x) Î [a,b[ ) = Pb( [a, b[ ),   où   Pb( [a, b[ ) := log10 b - log10 a.

Nous relions la loi de Benford à ce qui pourrait être la "distribution uniforme sur R+" telle que la définit Rényi, ce qui nous amène à construire une chaîne de Markov pour laquelle la loi de Benford Pb est une mesure invariante. Puis nous montrons que c'est l'unique mesure invariante grâce à une méthode de couplage. Nous obtenons aussi une estimée de la vitesse de convergence. Enfin, nous relions nos résultats au théorème de B. J. Flehinger sur le premier chiffre significatif d'un entier aléatoire.

Abstract :
We define the mantissa (base 10) of a positive real number x as the unique real number M(x) Î [1,10[ such that x = M(x) . 10k for some integer k Î Z.
Benford's law says that the proportion of numbers x > 0 such that M(x) Î [a,b[ is, for any 1 £ a < b £ 10,
P ( M(x) Î [a,b[ ) = Pb( [a, b[ ),   where   Pb( [a, b[ ) := log10 b - log10 a.

We link Benford's law to what could be the "uniform distribution in R+" as defined by Rényi, which leads us to construct a Markov chain admitting Pb as an invariant measure. We prove by a coupling method that Benford's law is the unique invariant measure. We also estimate the speed of convergence of the chain. Eventually, we connect our results to the theorem of B. J. Flehinger about the initial digit of a random integer.

Pour obtenir le fichier pub0304.ps.gz. Voir la nouvelle version.