UMR CNRS 6085 Publication 0302

Auteurs : Mohamed EL MACHKOURI et Dalibor VOLNY

Title : Counter example to the functional CLT for real random fields.

Titre : Contre-exemple dans le théorème central limite fonctionnel pour les champs aléatoires réels.

Année : 2003

Référence : Annales de l'IHP, 2 (2003) 325-337.

Mots-clefs : champ aléatoire, accroissement d'une martingale, entropie métrique, théorème central limite fonctionnel, principe d'invariance.

Key-words : martingale difference random field, metric entropy, functional central limit theorem, invariance principle.

Classification AMS 2000: 60F05, 60F17, 60G60

Résumé :
Nous considérons le système dynamique ergodique d'entropie strictement positive ( \Omega, \F, \mu, T )\Omega est un espace de Lebesgue, \mu est une mesure de probabilité et T est une action de Zd. Nous montrons que pour tout réel p positif, il existe une application réelle f dans Lp(\Omega) et une famille A de boréliens réguliers de [0,1]d vérifiant une condition d'entropie métrique avec inclusion telles que le champ aléatoire stationnaire ( f o Tk ){ k \in Zd } soit de type accroissement d'une martingale mais ne satisfasse pas le théorème central limite fonctionnel (ou principe d'invariance) relativement à la classe \A.

Abstract :
We consider the ergodic dynamical system (\Omega, \F, \mu, T) with positive entropy where \Omega is a Lebesgue space, \mu is a probability measure and T is a measure preserving Zd-action. We show that for any nonnegative real p, there is a real function f in Lp(\Omega) and a collection A of regular Borel sets of [0,1]d satisfying an entropy condition with inclusion such that ( f o Tk ){ k \in Zd } is a stationary martingale difference random field but does not satisfy the functional central limit theorem (or invariance principle) with regard to the family \A.

Pour obtenir le fichier pub0302.ps.gz.