UMR CNRS 6085 Publication 0207

Auteurs : F. Meylan, N. Mir, D. Zaitsev

Titre : Approximation and convergence of formal CR-mappings.

Année : 2002

Référence : soumis

Mots-clefs : Application formelle holomorphe, sous-variétés CR analytiques réelle et algébrique réelles, théorème d'approximation d'Artin.

Key-words : Formal holomorphic map, convergence, real-analytic and real-algebraic CR-submanifolds, Artin's approximation Theorem.

Classification AMS 2000: 32H02, 32V20, 32V40

Résumé :
Soient M inclus dans CN une sous-variété CR analytique réelle minimale et M' inclus dans CN' un sous-ensemble algébrique réel avec p dans M et p' dans M'. Nous montrons que pour toute application formelle holomorphe f : (CN,p)\to (CN',p'), appliquant M dans M', et pour tout entier positif k, il existe un germe d'application holomorphe fk : (\CN,p)\to (\CN',p') appliquant M dans M' et telle que la série de Taylor de fk (en p) coincide avec celle de f jusqu'à l'ordre k. Si M est de plus générique, nous montrons qu'une telle application f, non convergente, applique nécessairement M (en un sens approprié) dans l'ensemble E' inclus dans M' des points de type infini au sens de D'Angelo. En particulier, si M' ne contient pas de sous-ensemble analytique complexe de dimension positive passant par p', toute application formelle f est nécessairement convergente.

Abstract :
Let M contained in CN be a minimal real-analytic CR-submanifold and M' contained in CN' a real-algebraic subset through points p in M and p' in M'. We show that any formal (holomorphic) mapping f : (CN',p)\to (CN',p'), sending M into M', can be approximated up to any given order at p by a convergent map sending M into M'. If M is furthermore generic, we also show that any such map f, that is not convergent, must send (in an appropriate sense) M into the set E' included in M' of points of D'Angelo infinite type. Therefore, if M' does not contain any nontrivial complex-analytic subvariety through p', any formal map f as above is necessarily convergent.
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