UMR CNRS 6085 Publication 0107

Auteurs : Ghislaine Gayraud, Christophe Pouet

Titre : Goodness-of-fit test with a composite null hypothesis in the discrete regression scheme.

Année : 2001

Référence : soumis

Mots-clefs : Hypothèse paramétrique contre hypothèse non paramétrique, vitesse de test minimax, test d'ajustement, modèle de régression.

Key-words : Parametric versus nonparametric hypotheses testing, minimax rate of testing, goodness-of-fit, regression model.

Classification AMS 1970 : Primary : 62G10, 62G07; Secondary : 62C20.

Résumé :
On considère le problème de test d'hypothèses sur la fonction de régression. Les hypothèses nulle et alternative sont toutes deux composées. Le but est de définir la vitesse de test optimale $\psi_n$ (suite décroissante vers 0 avec un nombre croissant d'observations) qui correspond à la distance minimale séparant l'hypothèse paramétrique nulle de la classe d'alternatives, pour laquelle on est capable de distinguer l'hypothèse nulle de l'alternative. La résolution de ce problème se fait via l'approche minimax. Nous proposons une fonction de test dépendant uniquement des observations qui atteint cette vitesse de test, puis nous établissons une inégalité de borne inférieure signifiant qu'aucune fonction de test n'est consistante si la distance séparant l'hypothèse nulle de la classe d'alternatives est d'un ordre inférieur à $\psi_n$.

Abstract :
We consider the problem of testing hypotheses on the regression function from data observed on the regular grid on [0,1]. We are interested in choosing the optimal sequence $\psi_n$ decreasing to zero as the number of observations increases, so that it gives the minimal distance between the parametric class and the alternative set such that a successful testing is possible. To solve this problem, we use the minimax approach. We propose a goodness-of-fit test that achieves the optimal distance $\psi_n$, and finally we prove the lower bound showing that no test can be consistent if the distance between the parametric class and the alternative set is of order smaller than $\psi_n$.

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