UPRES-A CNRS 6085 Publication 0003
Auteurs : MAES C., REDIG F., SAADA E., VAN MOFFAERT A.

Titre : On the thermodynamic limit for a one-dimensional sandpile process.

Année : 2000

Référence : à paraître dans Markov Processes and related fields.

Mots-clefs : Modèle de piles de sable, processus non-Fellerien, limite thermodynamique, systèmes de particules en interaction.

Key-words : Sandpile model, non-Feller process, thermodynamic limit, interacting particle systems.

Classification AMS : 60K35, 82C22

Résumé :
Nous considérons le modèle de piles de sable abélien standard en dimension 1, et nous construisons un processus de Markov en volume infini correspondant à sa limite thermodynamique. La difficulté principale vient de ce que la dynamique est fortement non-locale: suivant la configuration des piles de sable, une variation de hauteurs des piles loin de l'origine peut influencer celle-ci lors d'un changement infinitésimal. Malgré tout, en utilisant des idées analogues à celles employées lors des extensions récentes du formalisme de Gibbs pour des systèmes de spins sur des réseaux, nous identifions un ensemble de ``bonnes'' configurations sur lesquelles la dynamique est à portée finie. Nous terminons en montrant que pour chaque chaque configuration initiale, le processus converge en un temps fini vers l'unique mesure invariante. Jusqu'à ce temps, la hauteur moyenne d'une pile croît linéairement.

Abstract :
Considering the standard abelian sandpile model in one dimension, we construct an infinite volume Markov process corresponding to its thermodynamic (infinite volume) limit. The main difficulty we overcome is the strong non-locality of the dynamics by which, depending on the sand configuration, changes in the height variables far away can still influence the origin in a single updating. However, using similar ideas as in recent extensions of the standard Gibbs formalism for lattice spin systems, we can identify a set of `good' configurations on which the dynamics is effectively local. Finally, we prove that every configuration converges in a finite time to the unique invariant measure. Up to this time, the expected height increases linearly in time.

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pub0003.ps.gz.